Exercice corrigé Ancien programme

parité et périodicité

1. Soit f une fonction continue sur et soit a un réel positif. On suppose de plus que f est paire. Exprimer en fonction de

 

La courbe représentative, dans un repère orthogonal, d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (pour tout x,

 

2. Soit f une fonction continue sur et soit a un réel positif. On suppose de plus que f est impaire. Calculer

 

La courbe représentative, dans un repère orthogonal, d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine O du repère (pour tout x,

 

3. Soit f une fonction définie et continue sur telle que f soit périodique de période T Démontrer que pour tout réel a,

 

Soit F une primitive de f sur

Montrer que la fonction H définie sur par  est constante.

 

 

1. Or, f étant une fonction paire, est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, donc et :

2. f étant une fonction impaire, est symétrique par rapport au point O, donc :

et

3. f est périodique de période T, donc pour tout

On définit la fonction H sur par  F est une primitive de f sur

H est dérivable sur et

Donc H est constante sur

Donc, pour tout c'est-à-dire :

 

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