Exercice corrigé Ancien programme

Perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires

L'espace est muni d'un repère orthonormal

Soient deux points de l'espace et deux vecteurs de l'espace.

On appelle D1 la droite passant par A et de vecteur directeur et D2 la droite passant par B et de vecteur directeur

1. Vérifier que D1 et D2 ne sont pas coplanaires.

 

Voir le savoir-faire 5.

 

2. On note H et H′ les pieds de la perpendiculaire commune de D1 et D2.

a. Déterminer les coordonnées de H et de H′.

b. Donner un système d'équations paramétriques de et calculer HH′ (HH′ s'appelle la distance entre les droites D1 et D2 ).

1. ne sont pas colinéaires, donc les droites D1 et D2 ne sont pas parallèles. Montrons que D1 et D2 ne sont pas sécantes. Si est le point d'intersection de D1 et D2, alors il existe deux réels r et s tels que et c'est-à-dire :


donc soit ce qui est impossible.

D1 et D2 ne sont ni sécantes ni parallèles, donc D1 et D2 ne sont pas coplanaires.

2. a. et donc il existe deux réels r et s tels que et Alors :

avec

 

Donc

 

Donc  et  

 

b. Le vecteur est encore un vecteur directeur de

est définie par le point H et par son vecteur directeur donc un système d'équations paramétriques de est

Donc la distance entre les droites D1 et D2 vaut

 

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