Exercice corrigé Ancien programme

Petits carrés

Un carré unité est divisé en neuf carrés égaux, le carré central est colorié (étape 1). Les huit carrés restant sont à leur tour divisés et coloriés selon le même procédé (étape 2). L'objectif du problème est de déterminer la limite de l'aire du domaine colorié si on continue ainsi indéfiniment.

Soit la suite définie sur dont le terme général désigne l'aire coloriée à l'étape n. On a donc .

Étape 1 Étape 2

1. Que vaut  ?

2. Montrer que pour tout , .

3. On pose . Montrer que la suite est géométrique. En préciser la raison et le premier terme.

4. Exprimer en fonction de n, puis en fonction de n.

5. Quelle est la limite de  ?

2. L'aire coloriée à l'étape suivante est égale à l'aire déjà coloriée ajoutée à un neuvième de ce qui reste. Traduire en une égalité reliant et , puis simplifier.

3. Le résultat de la question 2, montre qu'on a affaire à une suite arithmético-géométrique. La question 3 effectue donc l'étude classique. Voir le savoir-faire 7.

Petits Carrés

1. Pour trouver l'aire du domaine colorié à la deuxième étape, on ajoute :

– ce qui a été déjà colorié à la première étape :  

– ce que l'on colorie à la deuxième étape : de ce qui reste, soit .

On obtient : .

2. On recommence le même raisonnement.

Pour tout , .

3. .

La suite est donc géométrique, de raison , de premier terme :

.

4.  et .

Remarque : on peut vérifier que .

5. La suite étant une suite géométrique de raison strictement comprise entre 0 et 1, sa limite est 0. La limite de est donc 1.

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