Soit n un entier naturel.
1. Montrer que 
2. Factoriser 
3. Discuter, suivant la valeur de l'entier naturel n, le PGCD de :
et 
| Utiliser la propriété 4 du cours sur le PGCD. |
Soit
.
1. 
.
2. Pour
, on considère le polynôme du second degré :
.
est une racine évidente de ce polynôme, et 
est la deuxième racine (le produit des racines vaut 3).
Ainsi, 
et :
.
| On peut aussi utiliser le discriminant d'un trinôme du second degré. |
3. 
et
, donc leur PGCD existe et :
.
● Si
(modulo 3), 
(modulo 3)
et PGCD
.
● Si 
(modulo 3), 
(modulo 3)
et PGCD
.
● Si
(modulo 3), 
(modulo 3)
et PGCD
.
Donc, si 
(modulo 3),
,
sinon, 
.