Exercice corrigé Ancien programme

pgcd et factorisation

Soit n un entier naturel.

1. Montrer que

2. Factoriser

3. Discuter, suivant la valeur de l'entier naturel n, le PGCD de :

et

Utiliser la propriété 4 du cours sur le PGCD.

Soit.

1.

.

2. Pour, on considère le polynôme du second degré :

.

est une racine évidente de ce polynôme, et est la deuxième racine (le produit des racines vaut 3).

Ainsi, et :

.

On peut aussi utiliser le discriminant d'un trinôme du second degré.

3. et, donc leur PGCD existe et :

.

Si (modulo 3), (modulo 3)

et PGCD.

Si (modulo 3), (modulo 3)

et PGCD.

Si (modulo 3), (modulo 3)

et PGCD.

Donc, si (modulo 3),

,

sinon, .

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