Soit n un entier naturel.
1. Montrer que
2. Factoriser
3. Discuter, suivant la valeur de l'entier naturel n, le PGCD de :
et
Utiliser la propriété 4 du cours sur le PGCD. |
Soit.
1.
.
2. Pour, on considère le polynôme du second degré :
.
est une racine évidente de ce polynôme, et
est la deuxième racine (le produit des racines vaut 3).
Ainsi, et :
.
On peut aussi utiliser le discriminant d'un trinôme du second degré. |
3. et
, donc leur PGCD existe et :
.
● Si (modulo 3),
(modulo 3)
et PGCD.
● Si (modulo 3),
(modulo 3)
et PGCD.
● Si (modulo 3),
(modulo 3)
et PGCD.
Donc, si (modulo 3),
,
sinon, .