Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On considère la fonction f définie sur par
.
1. a. Montrer que .
b. Montrer que .
2. Cas
a. Écrire .
b. Étudier le signe de et en déduire que f admet deux points d'inflexion sur
.
3. Cas général
Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 2, f admet deux points d'inflexion (donner des valeurs exactes).
La courbe représentée dans l'exercice 6 correspond à . On pourra vérifier si les lectures graphiques correspondent aux calculs effectués dans ce problème.
Point d'inflexion
1. a. Pour tout :
.
b. Pour tout :
2. a. Si , alors
.
b. Comme , le signe de
est celui de
.
Le discriminant de ce trinôme du second degré est 8, ses deux racines sont et
.
On peut maintenant dresser le tableau de variation de :
Un changement de sens de variation pour la fonction s'observe deux fois : il y a donc deux points d'inflexion pour la fonction f, en
et en
.
3. Dans le cas général, comme et
, le signe de
est celui de
.
Le discriminant de ce trinôme du second degré est :
.
Ses deux racines sont et
.
À l'aide d'un tableau de variation de , similaire à celui de la question précédente, on conclut que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, f admet deux points
d'inflexion, en et en
.
1. b. Il est préférable d'utiliser pour dériver une seconde fois. En effet,
est ici sous forme d'un produit et il est donc aisé d'employer la formule
.
3. Si , les abscisses des deux points d'inflexion sont
et
,
ce qui est bien le résultat trouvé par les lectures graphiques de l'exercice 6.