Exercice corrigé Ancien programme

Point d'inflexion

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On considère la fonction f définie sur par .

1. a. Montrer que .

b. Montrer que .

2. Cas

a. Écrire .

b. Étudier le signe de et en déduire que f admet deux points d'inflexion sur .

3. Cas général

Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 2, f admet deux points d'inflexion (donner des valeurs exactes).

La courbe représentée dans l'exercice 6 correspond à . On pourra vérifier si les lectures graphiques correspondent aux calculs effectués dans ce problème.

Point d'inflexion

1. a. Pour tout  :

.

b. Pour tout  :

2. a. Si , alors .

b. Comme , le signe de est celui de .

Le discriminant de ce trinôme du second degré est 8, ses deux racines sont et .

On peut maintenant dresser le tableau de variation de  :

Un changement de sens de variation pour la fonction s'observe deux fois : il y a donc deux points d'inflexion pour la fonction f, en et en .

3. Dans le cas général, comme et , le signe de est celui de .

Le discriminant de ce trinôme du second degré est :

.

Ses deux racines sont et .

À l'aide d'un tableau de variation de , similaire à celui de la question précédente, on conclut que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, f admet deux points
d'inflexion, en
et en .

1. b. Il est préférable d'utiliser pour dériver une seconde fois. En effet, est ici sous forme d'un produit et il est donc aisé d'employer la formule .

3. Si , les abscisses des deux points d'inflexion sont et ,
ce qui est bien le résultat trouvé par les lectures graphiques de l'exercice 6.

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