Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On considère la fonction f définie sur 
par 
.
1. a. Montrer que 
.
b. Montrer que 
.
2. Cas 
a. Écrire 
.
b. Étudier le signe de 
et en déduire que f admet deux points d'inflexion sur 
.
3. Cas général
Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 2, f admet deux points d'inflexion (donner des valeurs exactes).
La courbe représentée dans l'exercice 6 correspond à 
. On pourra vérifier si les lectures graphiques correspondent aux calculs effectués dans ce problème.
Point d'inflexion
1. a. Pour tout 
:
.
b. Pour tout 
:
2. a. Si 
, alors 
.
b. Comme 
, le signe de 
est celui de 
.
Le discriminant de ce trinôme du second degré est 8, ses deux racines sont 
et 
.
On peut maintenant dresser le tableau de variation de 
:
Un changement de sens de variation pour la fonction 
s'observe deux fois : il y a donc deux points d'inflexion pour la fonction f, en 
et en 
.
3. Dans le cas général, comme 
et 
, le signe de 
est celui de 
.
Le discriminant de ce trinôme du second degré est :
.
Ses deux racines sont 
et 
.
À l'aide d'un tableau de variation de 
, similaire à celui de la question précédente, on conclut que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, f admet deux points
d'inflexion, en 
et en 
.
1. b. Il est préférable d'utiliser 
pour dériver une seconde fois. En effet, 
est ici sous forme d'un produit et il est donc aisé d'employer la formule 
.
3. Si 
, les abscisses des deux points d'inflexion sont 
et 
,
ce qui est bien le résultat trouvé par les lectures graphiques de l'exercice 6.