Exercice corrigé Ancien programme

position relative de et de l'une de ses tangentes

On considère les fonctions f, g et h définies sur par :

, et .

On note la courbe représentative de la fonction f et Δ la droite représentant la fonction g dans un repère orthonormé du plan.

1. Vérifier, par le calcul, que la tangente à au point d'abscisse 0 est la droite Δ.

2. a. Montrer que pour tout x réel, .

b. Étudier le signe de suivant les valeurs de x.

c. En déduire le sens de variation de la fonction h sur .

3. En utilisant les questions 1. et 2., étudier la position relative de la courbe et de sa tangente au point d'abscisse 0.

Position relative de et de l'une de ses tangentes

1. Pour , on a . On a et

Une équation de la tangente au point d'abscisse 0 est , soit . La tangente à au point d'abscisse 0 est la droite Δ.

2. a. Pour tout x réel, , soit .

b. .

Sur , on a et sur , on a .

c. h croît strictement sur et h décroît strictement sur .

3. Comme Δ est la tangente à au point d'abscisse 0, on a , soit .

h étant croissante strictement sur , on a sur et est au-dessus de Δ.

h étant décroissante strictement sur , on a sur et est au-dessus de Δ.

rencontre sa tangente Δ au point d'abscisse 0 et est toujours au-dessus de sa tangente.

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