Exercice corrigé Ancien programme

Prix d'équilibre d'un produit

On considère un produit dont le prix unitaire est x (en milliers d'euros). D'après une étude de marché, l'offre et la demande (en milliers d'objets de ce produit) sont définies, pour tout x de l'intervalle , par les formules :

et .

Partie A

1. a. Déterminer et .

b. Étudier les variations de f sur .

2. a. Déterminer et .

b. Étudier les variations de g sur .

3. Le plan est rapporté à un repère orthonomal (on prendra comme unité graphique 1 cm).

Tracer les courbes représentatives des fonctions f et g après avoir déterminé et tracé les tangentes respectives à ces deux courbes aux points d'abscisse 0.

Partie B

L'équation admet une solution unique p dans l'intervalle .

1. Par lecture graphique, donner une approximation à 0,1 près de p et du nombre (on fera apparaître les tracés permettant cette lecture).

2. a. Calculer p et n.

b. Le nombre p est appelé « prix d'équilibre » du produit. Donner le prix d'équilibre, exprimé en euros, arrondi à l'euro près, ainsi que le nombre correspondant d'objets proposés sur le marché.

B 2. a. Utiliser un produit en croix pour obtenir une équation du type et revoir le savoir-faire 5. Pour avoir la valeur exacte de n, utiliser la formule .

Prix d'équilibre d'un produit

1. a.  et .

b. Pour , on a .

Une exponentielle étant strictement positive, on a sur .

f est strictement croissante sur .

2. a.  et .

b. On utilise avec et .

Pour , on a .

Une exponentielle étant strictement positive ainsi que le carré, on a sur .

g est strictement décroissante sur .

3. Pour , le coefficient directeur de la tangente est , soit 0,5.

Pour , le coefficient directeur de la tangente est , soit .

Voir la figure page suivante.

1. Par lecture graphique, une approximation à 0,1 près de p est 2,2 et celle du nombre n est 2.

2. a. 

.

On a . . .

b. On a à 0,001 près. Or p est en milliers d'euros. Le « prix d'équilibre » du produit est de 2 197  à l'euro près. On a en milliers.

Le nombre correspondant d'objets proposés sur le marché est 2 000.

A 3. Le coefficient directeur d'une tangente au point d'abscisse a est le nombre dérivé en a.

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