Exercice corrigé Ancien programme

problème

Partie A

1. On considère la fonction f définie sur l'intervalle par :

a. Déterminer la limite de f en

b. Étudier le sens de variation de f.

2. Pour tout on pose On ne cherchera pas à calculer F(x).

a. Soit un réel strictement positif. Donner une interprétation géométrique de

b. Étudier le sens de variation de F sur l'intervalle

3. Soit a un réel strictement positif.

a. Montrer que, pour tout t appartenant à l'intervalle

b. En intégrant entre 1 et les membres de l'inégalité ci-dessus, établir que :

4. Soit x un réel strictement positif. Déduire de la question 3. que :

5. a. Calculer les deux intégrales de l'inégalité ci-dessus en fonction de x.

b. On admet que la limite de F(x), lorsque x tend vers existe et est un nombre réel noté l. Établir que

Partie B

1. Pour tout entier naturel n, on pose

a. Montrer que, pour tout entier naturel n,

 

On pourra utiliser le sens de variations de la fonction f.

 

b. Déterminer la limite de la suite (un).

2. Pour tout entier naturel n, on pose

a. Exprimer Sn en fonction de F et n.

b. La suite (Sn) est-elle convergente ? Dans l'affirmative, donner sa limite.

 

 

 

Partie A

1. a. donc d'où

b. Pour tout Or quel que soit x, donc et Ainsi f ′(x) est strictement négative, et f est strictement décroissante sur

2. a. Pour tout

d'où :

b. donc d'où :


et

Les trois membres de l'inégalité du 4. ont une limite, et d'après le théorème des gendarmes, on en déduit que :

Partie B

1. a. On a démontré au 1.b. de la partie A que f était strictement décroissante sur donc pour tout entier naturel n, et pout tout De plus, d'où on déduit que f est positive sur ce qui donne

Puis en intégrant de n à les termes de cette inégalité :

b. D'après les calculs de limite du 5.b.,

D'après le théorème des gendarmes,

2. a.

donc d'après la relation de Chasles pour les intégrales :

b. D'après la partie A, la limite de F quand x tend vers existe et vaut Donc la suite (Sn) est convergente et sa limite vaut

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