Problème

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Exercices
Classe(s) : 1re S | Thème(s) : Dérivation


Considérons une boîte en plastique en forme de parallélépipède rectangle de base carrée de côté x et de hauteur h, n’ayant pas de couvercle, c’est-à-dire constituée de la base et des quatre faces latérales.

1. Soit V le volume de cette boîte. Exprimer V en fonction de x et de h.

2. Soit S la surface de la boîte. Exprimer S en fonction de x et de h.

3. Soit V0 un volume fixé. On cherche à optimiser S, c’est-à-dire à déterminer les dimensions de la boîte telle que, pour le volume fixé, la surface de plastique soit minimale. Pour cela :

a. Exprimer h en fonction de x et de V0.

b. En déduire l’expression de S en fonction de x et de V0. Cette expression définit la fonction S sur .

c. Montrer que , puis déterminer les variations de la fonction S sur à l’aide des résultats de l’exercice 17.

4. Dans cette question, on considèrera le volume de la boîte égal à , x et h étant exprimés en dm.

a. Dresser le tableau de variation de S sur .

b. En déduire une valeur approchée à  dm près des dimensions x et h optimales pour le volume V0, ainsi que la surface de plastique correspondante.

c. Représenter graphiquement la fonction S sur .

d. Par lecture graphique, donner un encadrement du côté x du pavé pour lequel la surface serait inférieure à 40 dm².

Considérons maintenant une boîte en plastique en forme de cylindre de base de rayon r et de hauteur h, n’ayant pas de couvercle, c’est-à-dire constituée de la base et de la face latérale.

Étudier la fonction S donnant la surface de cette boîte en fonction de son rayon, de même que dans la partie A, puis en déduire ses dimensions optimales pour le même volume , ainsi que la surface de plastique correspondante.

Déduire des réponses obtenues dans les parties A et B, la forme optimale d’une boîte sans couvercle de volume 20 L.

Une forme sphérique ne serait pas judicieuse pour une boîte (stabilité et problème du couvercle).