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Exercices
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration

Partie A

1. On considère la fonction f définie sur l’intervalle par :

a. Déterminer la limite de f en

b. Étudier le sens de variation de f.

2. Pour tout on pose On ne cherchera pas à calculer F(x).

a. Soit un réel strictement positif. Donner une interprétation géométrique de

b. Étudier le sens de variation de F sur l’intervalle

3. Soit a un réel strictement positif.

a. Montrer que, pour tout t appartenant à l’intervalle

b. En intégrant entre 1 et les membres de l’inégalité ci-dessus, établir que :

4. Soit x un réel strictement positif. Déduire de la question 3. que :

5. a. Calculer les deux intégrales de l’inégalité ci-dessus en fonction de x.

b. On admet que la limite de F(x), lorsque x tend vers existe et est un nombre réel noté l. Établir que

Partie B

1. Pour tout entier naturel n, on pose

a. Montrer que, pour tout entier naturel n,

 

On pourra utiliser le sens de variations de la fonction f.

 

b. Déterminer la limite de la suite (un).

2. Pour tout entier naturel n, on pose

a. Exprimer Sn en fonction de F et n.

b. La suite (Sn) est-elle convergente ? Dans l’affirmative, donner sa limite.