Problème économique

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Exercices
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonction logarithme népérien

Pour un promoteur immobilier, le coût de production, en millions d’euros, pour n maisons construites, , est donné par :

.

Chaque maison est vendue 160 000 euros.

Partie A – Étude de fonction

Soit f la fonction définie sur par :

.

On appelle la courbe représentative de f et la droite d’équation dans un repère orthogonal (unités graphique : 0,5 cm en abscisses et 2,5 cm en ordonnées).

1. Étudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variations.

2. Montrer qu’il existe un point A de où la tangente D est parallèle à . Donner les coordonnées de A.

3. Tracer , D et .

Partie B – Utilisation du graphique

(Les réponses seront justifiées.)

1. Quel nombre de maisons faut-il construire pour que le coût de production soit minimal ?

2. Combien le promoteur doit-il construire de maisons pour réaliser du bénéfice ?

3. Comment peut-on utiliser le graphique pour déterminer le nombre de maisons à construire pour obtenir le bénéfice maximal ?

Partie C – Étude du bénéfice

1. Montrer que le bénéfice réalisé pour la fabrication de n maisons est, en millions d’euros : .

2. a. Étudier le sens de variation de la fonction g définie sur par :

.

b. Déterminer la valeur de x pour laquelle est maximal.

3. En déduire le nombre de maisons à construire pour que le bénéfice soit maximal.