Pour un promoteur immobilier, le coût de production, en millions d’euros, pour n maisons construites, 
, est donné par :
.
Chaque maison est vendue 160 000 euros.
Partie A – Étude de fonction
Soit f la fonction définie sur 
par :
.
On appelle 
la courbe représentative de f et 
la droite d’équation 
dans un repère orthogonal (unités graphique : 0,5 cm en abscisses et 2,5 cm en ordonnées).
1. Étudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variations.
2. Montrer qu’il existe un point A de 
où la tangente D est parallèle à 
. Donner les coordonnées de A.
3. Tracer 
, D et 
.
Partie B – Utilisation du graphique
(Les réponses seront justifiées.)
1. Quel nombre de maisons faut-il construire pour que le coût de production soit minimal ?
2. Combien le promoteur doit-il construire de maisons pour réaliser du bénéfice ?
3. Comment peut-on utiliser le graphique pour déterminer le nombre de maisons à construire pour obtenir le bénéfice maximal ?
Partie C – Étude du bénéfice
1. Montrer que le bénéfice réalisé pour la fabrication de n maisons est, en millions d’euros : 
.
2. a. Étudier le sens de variation de la fonction g définie sur 
par :
.
b. Déterminer la valeur de x pour laquelle 
est maximal.
3. En déduire le nombre de maisons à construire pour que le bénéfice soit maximal.
