Un théâtre propose deux types d'abonnements pour une année : un abonnement A donnant droit à six spectacles ou un abonnement B donnant droit à trois spectacles.
On considère un groupe de 2500 personnes qui s'abonnent tous les ans. n étant un entier naturel, on note :
● 
la probabilité qu'une personne ait choisi un abonnement A l'année n
● 
la probabilité qu'une personne ait choisi un abonnement B l'année n
● 
la matrice 
traduisant l'état probabiliste l'année n.
Les probabilités de conserver son abonnement sont données dans le graphe ci-dessous :
1. Compléter ce graphe sachant que les personnes interrogées s'abonnent tous les ans.
2. On suppose que, l'année zéro, 1 500 personnes ont choisi l'abonnement A et 1 000 l'abonnement B.
a. Déterminer l'état initial 
b. Déterminer la matrice de transition M du graphe.
| Voir le savoir-faire 5. |
c. En déduire le nombre d'abonnés pour chaque type d'abonnement l'année un.
3. Montrer que pour tout entier 
| Quelle relation simple a-t-on entre |
et 
4. Soit la suite 
définie, pour tout entier naturel n par :
a. Montrer que la suite 
est une suite géométrique de raison 
b. En déduire 
puis 
en fonction de n.
c. Calculer la limite de 
quand n tend vers l'infini. Interpréter cette limite.
1.
2. a. 
soit 
b. Soit 
c'est-à-dire 
Donc 
c. 
L'année un, 
personnes auront choisi l'abonnement A et 
personnes auront choisi l'abonnement B.
3.Soit 
d'où (1re ligne) :
et :
soit 
4.Soit la suite 
définie, pour tout entier naturel n par 
a. Soit 
Mettons 0, 4 en facteur : 
| On peut aussi exprimer |
en fonction de 
et le comparer à 
Pour tout 
donc 
est une suite géométrique de raison 0, 4.
b. Pour tout 
avec 
Donc 
Il en résulte que, pour tout 
c. Comme 
Donc 
La répartition des abonnements A et B tend vers la répartition limite : 75 % d'abonnements A et 25 % d'abonnements B.
| Rappel Si |
alors 
n'admet pas de limite quand 