Un théâtre propose deux types d’abonnements pour une année : un abonnement A donnant droit à six spectacles ou un abonnement B donnant droit à trois spectacles.
On considère un groupe de 2500 personnes qui s’abonnent tous les ans. n étant un entier naturel, on note :
● 
la probabilité qu’une personne ait choisi un abonnement A l’année n ;
● 
la probabilité qu’une personne ait choisi un abonnement B l’année n ;
● 
la matrice 
traduisant l’état probabiliste l’année n.
Les probabilités de conserver son abonnement sont données dans le graphe ci-dessous :
1. Compléter ce graphe sachant que les personnes interrogées s’abonnent tous les ans.
2. On suppose que, l’année zéro, 1 500 personnes ont choisi l’abonnement A et 1 000 l’abonnement B.
a. Déterminer l’état initial 
b. Déterminer la matrice de transition M du graphe.
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Voir le savoir-faire 5. |
c. En déduire le nombre d’abonnés pour chaque type d’abonnement l’année un.
3. Montrer que pour tout entier 
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Quelle relation simple a-t-on entre |
et 
4. Soit la suite 
définie, pour tout entier naturel n par :
a. Montrer que la suite 
est une suite géométrique de raison 
b. En déduire 
puis 
en fonction de n.
c. Calculer la limite de 
quand n tend vers l’infini. Interpréter cette limite.
