Un théâtre propose deux types d'abonnements pour une année : un abonnement A donnant droit à six spectacles ou un abonnement B donnant droit à trois spectacles.
On considère un groupe de 2500 personnes qui s'abonnent tous les ans. n étant un entier naturel, on note :
● la probabilité qu'une personne ait choisi un abonnement A l'année n
● la probabilité qu'une personne ait choisi un abonnement B l'année n
● la matrice
traduisant l'état probabiliste l'année n.
Les probabilités de conserver son abonnement sont données dans le graphe ci-dessous :
1. Compléter ce graphe sachant que les personnes interrogées s'abonnent tous les ans.
2. On suppose que, l'année zéro, 1 500 personnes ont choisi l'abonnement A et 1 000 l'abonnement B.
a. Déterminer l'état initial
b. Déterminer la matrice de transition M du graphe.
Voir le savoir-faire 5. |
c. En déduire le nombre d'abonnés pour chaque type d'abonnement l'année un.
3. Montrer que pour tout entier
Quelle relation simple a-t-on entre |
4. Soit la suite définie, pour tout entier naturel n par :
a. Montrer que la suite est une suite géométrique de raison
b. En déduire puis
en fonction de n.
c. Calculer la limite de quand n tend vers l'infini. Interpréter cette limite.
1.
2. a. soit
b. Soit c'est-à-dire
Donc
c.
L'année un, personnes auront choisi l'abonnement A et
personnes auront choisi l'abonnement B.
3.Soit d'où (1re ligne) :
et :
soit
4.Soit la suite définie, pour tout entier naturel n par
a. Soit
Mettons 0, 4 en facteur :
On peut aussi exprimer |
Pour tout donc
est une suite géométrique de raison 0, 4.
b. Pour tout avec
Donc Il en résulte que, pour tout
c. Comme Donc
La répartition des abonnements A et B tend vers la répartition limite : 75 % d'abonnements A et 25 % d'abonnements B.
Rappel Si |