Un théâtre propose deux types d&rsquo abonnements pour une année  : un abonnement A donnant droit à six spectacles ou un abonnement B donnant droit à trois spectacles.
On considère un groupe de 2500 personnes qui s&rsquo abonnent tous les ans. n étant un entier naturel, on note  :
● 
la probabilité qu&rsquo une personne ait choisi un abonnement A l&rsquo année n 
● 
la probabilité qu&rsquo une personne ait choisi un abonnement B l&rsquo année n 
● 
la matrice 
traduisant l&rsquo état probabiliste l&rsquo année n.
Les probabilités de conserver son abonnement sont données dans le graphe ci-dessous  :
1. Compléter ce graphe sachant que les personnes interrogées s&rsquo abonnent tous les ans.
2. On suppose que, l&rsquo année zéro, 1 500 personnes ont choisi l&rsquo abonnement A et 1 000 l&rsquo abonnement B.
a. Déterminer l&rsquo état initial 
b. Déterminer la matrice de transition M du graphe.
 
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Voir le savoir-faire 5. |
 
c. En déduire le nombre d&rsquo abonnés pour chaque type d&rsquo abonnement l&rsquo année un.
3. Montrer que pour tout entier 
 
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Quelle relation simple a-t-on entre |
et 
 
4. Soit la suite 
définie, pour tout entier naturel n par  :
a. Montrer que la suite 
est une suite géométrique de raison 
b. En déduire 
puis 
en fonction de n.
c. Calculer la limite de 
quand n tend vers l&rsquo infini. Interpréter cette limite.
 
 
