Exercice corrigé Ancien programme

problème simple graphe probabiliste

Un théâtre propose deux types d'abonnements pour une année : un abonnement A donnant droit à six spectacles ou un abonnement B donnant droit à trois spectacles.

On considère un groupe de 2500 personnes qui s'abonnent tous les ans. n étant un entier naturel, on note :

la probabilité qu'une personne ait choisi un abonnement A l'année n 

la probabilité qu'une personne ait choisi un abonnement B l'année n 

la matrice traduisant l'état probabiliste l'année n.

Les probabilités de conserver son abonnement sont données dans le graphe ci-dessous :

1. Compléter ce graphe sachant que les personnes interrogées s'abonnent tous les ans.

2. On suppose que, l'année zéro, 1 500 personnes ont choisi l'abonnement A et 1 000 l'abonnement B.

a. Déterminer l'état initial

b. Déterminer la matrice de transition M du graphe.

 

Voir le savoir-faire 5.

 

c. En déduire le nombre d'abonnés pour chaque type d'abonnement l'année un.

3. Montrer que pour tout entier

 

Quelle relation simple a-t-on entre et  ?

 

4. Soit la suite définie, pour tout entier naturel n par :

a. Montrer que la suite est une suite géométrique de raison

b. En déduire puis en fonction de n.

c. Calculer la limite de quand n tend vers l'infini. Interpréter cette limite.

 

 

1.

2. a. soit

 

b. Soit c'est-à-dire

Donc

c.

L'année un, personnes auront choisi l'abonnement A et personnes auront choisi l'abonnement B.

3.Soit d'où (1re ligne) :

 

et :
soit

4.Soit la suite définie, pour tout entier naturel n par

a. Soit

Mettons 0, 4 en facteur :

 

On peut aussi exprimer en fonction de et le comparer à

 

Pour tout donc est une suite géométrique de raison 0, 4.

b. Pour tout avec

Donc Il en résulte que, pour tout

c. Comme Donc

La répartition des abonnements A et B tend vers la répartition limite : 75 % d'abonnements A et 25 % d'abonnements B.

 

Rappel

Si alors n'admet pas de limite quand n tend vers

 

 

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