problème simple graphe probabiliste

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Exercices
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications

Un théâtre propose deux types d&rsquo abonnements pour une année&nbsp : un abonnement A donnant droit à six spectacles ou un abonnement B donnant droit à trois spectacles.

On considère un groupe de 2500 personnes qui s&rsquo abonnent tous les ans. n étant un entier naturel, on note&nbsp :

la probabilité qu&rsquo une personne ait choisi un abonnement A l&rsquo année n&nbsp

la probabilité qu&rsquo une personne ait choisi un abonnement B l&rsquo année n&nbsp

la matrice traduisant l&rsquo état probabiliste l&rsquo année n.

Les probabilités de conserver son abonnement sont données dans le graphe ci-dessous&nbsp :

1. Compléter ce graphe sachant que les personnes interrogées s&rsquo abonnent tous les ans.

2. On suppose que, l&rsquo année zéro, 1 500 personnes ont choisi l&rsquo abonnement A et 1 000 l&rsquo abonnement B.

a. Déterminer l&rsquo état initial

b. Déterminer la matrice de transition M du graphe.

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Voir le savoir-faire 5.

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c. En déduire le nombre d&rsquo abonnés pour chaque type d&rsquo abonnement l&rsquo année un.

3. Montrer que pour tout entier

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Quelle relation simple a-t-on entre et &nbsp ?

&nbsp

4. Soit la suite définie, pour tout entier naturel n par&nbsp :

a. Montrer que la suite est une suite géométrique de raison

b. En déduire puis en fonction de n.

c. Calculer la limite de quand n tend vers l&rsquo infini. Interpréter cette limite.

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