Exercice corrigé Ancien programme

prolongement et dérivabilité

Partie A. Étude d'une fonction auxiliaire

La fonction d est définie sur par

1. Calculer la fonction dérivée En déduire les variations de d.

2. Déterminer les limites de d en et en

3. Montrer que, pour tout

 

Transformer l'écriture de de sorte que la variable x n'apparaisse qu'une fois dans l'expression de

 

Partie B. Étude de la fonction f

Dans cette partie on s'intéresse à la fonction f définie sur l'intervalle par

On appelle la courbe représentative de f dans un repère orthonormal, l'unité graphique étant 5 cm. On désigne par f ′et f ′′ les dérivées première et seconde de f.

1. Démontrer que la droite (D) d'équation est asymptote à la courbe c'est-à-dire que

2. a. Pour calculer et

Vérifier que

En déduire le signe de lorsque x décrit

b. Dresser le tableau de variation de f ′ (on admettra que ).

3. Démontrer que l'équation admet sur deux solutions, dont l'une est 0. Dans la suite du problème, on notera la solution non nulle. Donner une valeur approchée de au centième près.

4. a. Donner le signe de lorsque x décrit

 

S'aider du tableau du 2.b.

 

b. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

c. Dresser le tableau de variation de f.

Partie C. Prolongement de la fonction f en – 1

On considère la fonction g définie sur par :

On appelle la courbe représentative de la fonction g dans le repère de la partie B.

1. a. Montrer que l'on peut écrire

b. Pour déterminer la limite lorsque x tend vers - 1
de

c. En déduire que g est dérivable en - 1 et préciser sa dérivée

2. Construire (D) et Préciser les tangentes à aux points d'abscisses -1, et 0.

 

 

Partie A

1. d est de la forme avec

u étant définie et dérivable sur d l'est aussi et, pour tout

donc d est strictement croissante sur

2. l Limite en

  • donc, par quotient :

Puis donc, par composition :

  • Limite en de

il s'agit d'une forme indéterminée.

Factorisons numérateur et dénominateur par le terme de plus haut degré.

Au voisinage de +∞ (on peut simplifier par ) :

donc, par quotient, C'est-à-dire :

Limite en de

donc, par composition,

3. Soit x un réel de l'intervalle

donc

 

On peut maintenant travailler par inégalités successives en partant de x et en respectant les priorités opératoires.

 

car exp est strictement croissante sur

car

Or, e et étant tous deux strictement positifs,

Finalement, pour tout

Partie B

1. Il faut montrer que a pour limite 0 en

donc, par soustraction,
soit

(D) est donc asymptote à la courbe en

2. a. l Soit donc :

  • et sont strictement positifs sur donc est du signe de

Or

Alors,

Donc est strictement négatif sur strictement positif sur et s'annule en

b.

 

 

3. l f ′ est continue et strictement décroissante sur

0 est compris entre

Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution a sur

  • f ′ est continue et strictement croissante sur

0 est compris entre et

Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution sur

De plus,

0 est donc l'unique solution sur de l'équation

  • D'après la calculatrice, donc comme f est strictement décroissante sur Une valeur approchée de au centième près est

4. a. Il découle des questions 2.b. et 3. que :

est strictement positif sur et sur

est strictement négatif sur

s'annule en et en 0.

b. Les limites de f aux bornes de son ensemble de définition s'obtiennent en remarquant que

et en utilisant les résultats de la partie A : 

donc, par soustraction :

donc, par soustraction :

c.

 

 

Valeur approchée

est défini par soit d'où et :

Partie C

1. a.

b. Posons Alors

D'après la partie A, 2.,

D'après le cours,

Donc, par composition,

c. donc, par produit,

Donc

g est donc dérivable en et

2. l

  • La tangente à (′) au point d'abscisse a pour équation :

  • donc la tangente à (′) au point d'abscisse 0 a pour équation
  • donc la tangente à (′ ) au point d'abscisse a pour équation

(tangente horizontale).

 

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