prolongement et dérivabilité

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Exercices
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle

Partie A. Étude d’une fonction auxiliaire

La fonction d est définie sur par

1. Calculer la fonction dérivée En déduire les variations de d.

2. Déterminer les limites de d en et en

3. Montrer que, pour tout

 

Transformer l’écriture de de sorte que la variable x n’apparaisse qu’une fois dans l’expression de

 

Partie B. Étude de la fonction f

Dans cette partie on s’intéresse à la fonction f définie sur l’intervalle par

On appelle la courbe représentative de f dans un repère orthonormal, l’unité graphique étant 5 cm. On désigne par f ′et f ′′ les dérivées première et seconde de f.

1. Démontrer que la droite (D) d’équation est asymptote à la courbe c’est-à-dire que

2. a. Pour calculer et

Vérifier que

En déduire le signe de lorsque x décrit

b. Dresser le tableau de variation de f ′ (on admettra que ).

3. Démontrer que l’équation admet sur deux solutions, dont l’une est 0. Dans la suite du problème, on notera la solution non nulle. Donner une valeur approchée de au centième près.

4. a. Donner le signe de lorsque x décrit

 

S'aider du tableau du 2.b.

 

b. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

c. Dresser le tableau de variation de f.

Partie C. Prolongement de la fonction f en – 1

On considère la fonction g définie sur par :

On appelle la courbe représentative de la fonction g dans le repère de la partie B.

1. a. Montrer que l’on peut écrire

b. Pour déterminer la limite lorsque x tend vers - 1
de

c. En déduire que g est dérivable en - 1 et préciser sa dérivée

2. Construire (D) et Préciser les tangentes à aux points d’abscisses -1, et 0.