prolongement et dérivabilité

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Exercices
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle

Partie A. Étude d&rsquo une fonction auxiliaire

La fonction d est définie sur par

1. Calculer la fonction dérivée En déduire les variations de d.

2. Déterminer les limites de d en et en

3. Montrer que, pour tout

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Transformer l&rsquo écriture de de sorte que la variable x n&rsquo apparaisse qu&rsquo une fois dans l&rsquo expression de

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Partie B. Étude de la fonction f

Dans cette partie on s&rsquo intéresse à la fonction f définie sur l&rsquo intervalle par

On appelle la courbe représentative de f dans un repère orthonormal, l&rsquo unité graphique étant 5 cm. On désigne par f &prime et f &prime &prime les dérivées première et seconde de f.

1. Démontrer que la droite (D) d&rsquo équation est asymptote à la courbe c&rsquo est-à-dire que

2. a. Pour calculer et

Vérifier que

En déduire le signe de lorsque x décrit

b. Dresser le tableau de variation de f &prime (on admettra que ).

3. Démontrer que l&rsquo équation admet sur deux solutions, dont l&rsquo une est 0. Dans la suite du problème, on notera la solution non nulle. Donner une valeur approchée de au centième près.

4. a. Donner le signe de lorsque x décrit

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S' aider du tableau du 2.b.

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b. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

c. Dresser le tableau de variation de f.

Partie C. Prolongement de la fonction f en &ndash 1

On considère la fonction g définie sur par :

On appelle la courbe représentative de la fonction g dans le repère de la partie B.

1. a. Montrer que l&rsquo on peut écrire

b. Pour déterminer la limite lorsque x tend vers - 1
de

c. En déduire que g est dérivable en - 1 et préciser sa dérivée

2. Construire (D) et Préciser les tangentes à aux points d&rsquo abscisses -1, et 0.

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