Soit f la fonction définie sur 
1. Démontrer que f est continue en 1.
| Voir au chapitre 2, la définition de la continuité. |
2. Étude asymptotique
a. Calculer la limite de f en 
b. En écrivant 
déterminer la limite de f en 
3. Soit g la fonction définie sur 
a. Étudier le signe de 
et dresser le tableau de variation de g.
b. En déduire le signe de 
selon les valeurs de x.
4. Étude des variations de f
a. Calculer 
et démontrer que 
est du même signe
que 
b. En déduire le sens de variation de f sur 
et sur 
c. Dresser le tableau de variations complet de f sur 
1. Pour tout 
La fonction ln étant dérivable en 1, 
Donc 
donc f est continue en 1.
2. a. 
, donc 
, par quotient.
b. 
donc 
3. a. g est définie et dérivable sur 
et, pour tout 
donc g est strictement croissante sur 
et strictement décroissante sur 
b. D'une part, g est strictement croissante sur 
et 
donc g est strictement négative sur 
D'autre part, g est strictement décroissante sur 
et 
donc g est strictement négative sur 
Finalement, 
4. a. Pour tout 
donc f ¢(x) est du même signe que 
b. Alors 
est strictement négative sur 
et sur 
Donc f est strictement décroissante sur 
et sur 
Or f est continue en 1, donc f est strictement décroissante sur 
c.
