Exercice corrigé Ancien programme

Prolongement par continuité

Soit f la fonction définie sur

1. Démontrer que f est continue en 1.

 

Voir au chapitre 2, la définition de la continuité.

 

2. Étude asymptotique

a. Calculer la limite de f en

b. En écrivant déterminer la limite de f en

3. Soit g la fonction définie sur

a. Étudier le signe de et dresser le tableau de variation de g.

b. En déduire le signe de selon les valeurs de x.

4. Étude des variations de f

a. Calculer et démontrer que est du même signe
que

b. En déduire le sens de variation de f sur et sur

c. Dresser le tableau de variations complet de f sur

1. Pour tout

La fonction ln étant dérivable en 1,

Donc donc f est continue en 1.

2. a. , donc , par quotient.

b. donc

3. a. g est définie et dérivable sur et, pour tout

donc g est strictement croissante sur et strictement décroissante sur

 

b. D'une part, g est strictement croissante sur et donc g est strictement négative sur

D'autre part, g est strictement décroissante sur et donc g est strictement négative sur

Finalement,

4. a. Pour tout

donc f ¢(x) est du même signe que

b. Alors est strictement négative sur et sur

Donc f est strictement décroissante sur et sur

Or f est continue en 1, donc f est strictement décroissante sur

c.

 

 

 

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