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Exercices
Classe(s) : 1re S | Thème(s) : Dérivation


On admet le résultat suivant, appelé approximation affine :

Soit f une fonction dérivable en a.

Si h est proche de zéro, alors .

On s’intéresse dans cet exercice à une fonction f, définie et dérivable sur , qui vérifie et .

1. Soit a un réel. Démontrer que, pour h proche de zéro :

.

2. Nous ne connaissons pas cette fonction f, mais nous allons l’approcher par une fonction affine par morceaux (dont le pas est noté h) : c’est la méthode d’Euler.

Prenons par exemple .

l Le premier point M0 a pour coordonnées et (puisque ).

l Le point suivant M1 a pour coordonnées et y1.

Nous ne connaissons pas , mais l’approximation affine pour nous en donne une valeur approchée puisque :

.

On pose donc d’où .

l Le point M2 a pour coordonnées et y2.

L’approximation affine pour nous donne une valeur approchée de puisque :

.

On pose donc d’où .

a. Déterminer maintenant les coordonnées de M3 et de M4.

b. On a écrit page suivante un algorithme permettant d’afficher les premiers points Mn (dont l’abscisse est inférieure à ).


Sur ce modèle, écrire un algorithme applicable à n’importe quelle valeur de h.

Le tester pour puis .

c. Il existe en fait une unique fonction f qui vérifie et , c’est la fonction exponentielle. Modifier l’algorithme de la question précédente de façon à comparer la courbe obtenue par la méthode d’Euler et celle de la fonction exponentielle.