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Exercices
Classe(s) : 1re S | Thème(s) : Géométrie plane


Soit ABC un triangle non plat. On note I, J et K les milieux respectifs de , et , et P le point d’intersection de et .

L’objectif de cet exercice est de démontrer que P appartient aussi à la troisième médiane , et que P est situé « aux deux tiers en partant du sommet ».

Pour cela, on va exprimer différents vecteurs en fonction des vecteurs non colinéaires et .


1. Puisque P appartient à , il existe un réel tel que .

a. Établir que .

b. Exprimer en fonction des vecteurs et  (1).

2. Puisque P appartient à , il existe un réel tel que .

a. Exprimer , puis , en fonction des vecteurs et

b. En déduire une expression de en fonction de et  (2).

3. En comparant les expression (1) et (2), déterminer les valeurs de et de . Établir ensuite que .

4. On veut maintenant démontrer que P appartient également à la médiane issue de C.

a. Exprimer et en fonction des vecteurs et .

b. En déduire que les points C, P et K sont alignés.

Les médianes du triangle quelconque ABC sont bien concourantes en un point P qui vérifie  ; et . P s’appelle centre de gravité du triangle ABC.