Exercice corrigé Ancien programme

qcm

Dans chacune des questions suivantes, une ou plusieurs affirmations sont vraies. Justifier lesquelles.

1. Une suite décroissante et positive :

a. tend vers 0  b. converge 

c. peut ne pas être majorée  d. est majorée.

2. Soit la suite définie pour tout par

La suite est :

a. croissante  b. décroissante 

c. minorée  d. majorée.

3. Soit et deux suites telles que et

Alors a pour limite :

a. 0  b.

c. d. on ne peut pas conclure.

4. Soit la suite définie pour tout par

a. converge vers 0  b. converge vers un réel non nul 

c. d. est bornée.

Majorer par

5. Soit une suite vérifiant pour tout Alors :

a. est croissante  b. est majorée 

c. n'est pas majorée  d. diverge vers

1. Réponses b. et d. 

Une telle suite est décroissante et minorée (par 0) donc elle converge, mais sa limite peut être un nombre positif non nul. Le fait qu'elle soit décroissante implique qu'elle est majorée par son premier terme.

2. Réponses b., c. et d.

Pour tout donc est décroissante.

Pour tout donc est minorée.

car pour tout entier naturel n, donc Donc est minorée

3. Réponse b. car

4. Réponses a. et d.

Pour tout et pour tout ,

donc

Attention, la somme formant un comporte n + 1 termes.

Or
donc d'après le théorème des gendarmes,

De plus, pour tout et
donc

On en déduit que

Toute suite convergente est bornée.

5. Réponses c. et d.

Soit A un réel. Posons Alors et pour tout,

Donc tend vers et n'est pas majorée.

Autre méthode : d'ou d. puis c.

n'est pas forcément croissante, car on pourrait bâtir comme contre-exemple la suite définie aux rangs pairs par et aux rangs impairs par et mais Cette suite n'est pas monotone.

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