Exercice corrigé Ancien programme

qcm

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

Justifier votre réponse.

1. Le nombre 5 400 a 48 diviseurs positifs.

2. Quel que soit l'entier naturel n, PGCD

3. Si un entier naturel n est congru à 1 modulo 7, alors le PGCD de et est égal à 7.

4. Soit a et b deux entiers naturels. Si il existe deux entiers relatifs u et v tels que alors le PGCD de a et de b est égal à 2.

1. Si l'on veut éviter de se lancer dans la liste exhaustive des diviseurs de 5 400 (c'est long et on s'exposerait à des oublis), on décompose 5 400 en produit de facteurs premiers :

On remarque ensuite que tous les diviseurs de 5 400 sont de la forme :

, où, et .

Il s'agit de dénombrer ensuite toutes les combinaisons possibles de ces facteurs premiers pour former des diviseurs de 5 400. On a 4 possibilités pour (de 0 à 3), 4 possibilités pour et 3 pour, ce qui donne en tout diviseurs.

Donc la proposition est vraie.

2. n étant un entier naturel, et sont bien strictement positifs, donc le PGCD est bien défini. Utilisons l'algorithme d'Euclide pour le déterminer :

, avec , donc :

.

Si , alors , d'où on conclut.

Sinon, on poursuit : , avec ,

donc .

La proposition est donc vraie.

3. Vérifions d'abord que 7 est un diviseur commun à et :

(modulo 7), donc (modulo 7)  donc 7 est un diviseur de

de même (modulo 7), donc.

On en déduit que 7 divise le PGCD de et .

De plus, quel que soit l'entier n,.

D'après le théorème de Bézout (2), divise 7.

D'où si (modulo 7). La proposition est vraie.

4. Pour prouver que cette proposition est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple. Si et , alors donc il existe, d'après le théorème de Bézout, deux entiers u et v tels que . Par exemple,.

En posant et , alors , mais. La proposition est bien fausse.

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