Exercice corrigé Ancien programme

qcm

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier votre réponse.

1. n est un entier divisible par 21 et par 36. Alors n est divisible par 756.

2. x et y sont deux entiers relatifs tels que Alors x et y sont divisibles par 3.

3. p est un nombre premier, a et b sont deux entiers. Si ab est un multiple de
p, alors p divise a ou b.

4. Il existe deux entiers m et n tels que

5. Le système équivaut à

(x et y étant deux entiers).

1. Par exemple, si alors et , donc 252 est divisible par 36 et 21, mais pas par 756. (C'est un contre-exemple au théorème de Gauss si a et b ne sont pas premiers entre eux).

Donc l'affirmation est fausse.

2. , donc .

D'où , ce qui équivaut à .

Donc 17 divise . Or, 17 et 35 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss, 17 divise , donc il existe tel que d'où on déduit , ce qui nous donne .

Réciproquement, on vérifie que les couples de la forme , sont solutions de l'équation.

Les solutions de l'équation sont les couples , .

Parmi toutes ces solutions, il en existe où x et y ne sont pas des multiples de 3.

Par exemple, pour , et ne sont pas multiples de 3 et .

Donc l'affirmation est fausse.

3. p est un nombre premier divisant ab. Si p divise a, alors l'affirmation est

vraie, sinon p et a sont premiers entre eux. Alors d'après le théorème de

Gauss, comme p divise ab, p doit diviser b.

Donc l'affirmation est toujours vraie.

4. D'après le théorème de Bézout, ces entiers m et n existent si, et seulement si, m et n sont premiers entre eux. Or :

,

donc, donc 312 et 143 ne sont pas premiers entre eux.

Donc l'affirmation est fausse.

5. (modulo 6) équivaut à : il existe tel que

(modulo 5) équivaut à : il existe tel que , d'où . Or, d'après le théorème de Gauss, comme 5 divise 6k, et 5 et 6 sont premiers entre eux, on en déduit que 5 divise k, donc il existe tel que . D'où, ce qui implique (modulo 30).

Réciproquement, si (modulo 30), alors il existe tel que, donc :

(modulo 6) et (modulo 5).

Donc l'affirmation est vraie.

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