Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier votre réponse.
1. n est un entier divisible par 21 et par 36. Alors n est divisible par 756.
2. x et y sont deux entiers relatifs tels que Alors x et y sont divisibles par 3.
3. p est un nombre premier, a et b sont deux entiers. Si ab est un multiple de
p, alors p divise a ou b.
4. Il existe deux entiers m et n tels que
5. Le système équivaut à
(x et y étant deux entiers).
1. Par exemple, si alors
et
, donc 252 est divisible par 36 et 21, mais pas par 756. (C'est un contre-exemple au théorème de Gauss si a et b ne sont pas premiers entre eux).
Donc l'affirmation est fausse.
2. , donc
.
D'où , ce qui équivaut à
.
Donc 17 divise . Or, 17 et 35 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss, 17 divise
, donc il existe
tel que
d'où on déduit
, ce qui nous donne
.
Réciproquement, on vérifie que les couples de la forme ,
sont solutions de l'équation.
Les solutions de l'équation sont les couples ,
.
Parmi toutes ces solutions, il en existe où x et y ne sont pas des multiples de 3.
Par exemple, pour ,
et
ne sont pas multiples de 3 et
.
Donc l'affirmation est fausse.
3. p est un nombre premier divisant ab. Si p divise a, alors l'affirmation est
vraie, sinon p et a sont premiers entre eux. Alors d'après le théorème de
Gauss, comme p divise ab, p doit diviser b.
Donc l'affirmation est toujours vraie.
4. D'après le théorème de Bézout, ces entiers m et n existent si, et seulement si, m et n sont premiers entre eux. Or :
,
donc, donc 312 et 143 ne sont pas premiers entre eux.
Donc l'affirmation est fausse.
5. (modulo 6) équivaut à : il existe
tel que
(modulo 5) équivaut à : il existe
tel que
, d'où
. Or, d'après le théorème de Gauss, comme 5 divise 6k, et 5 et 6 sont premiers entre eux, on en déduit que 5 divise k, donc il existe
tel que
. D'où
, ce qui implique
(modulo 30).
Réciproquement, si (modulo 30), alors il existe
tel que
, donc :
(modulo 6) et
(modulo 5).
Donc l'affirmation est vraie.