Exercice corrigé Ancien programme

qcm congruences

Pour chaque question, une ou plusieurs réponses sont correctes. Cocher la ou les réponses correspondantes.

1. x étant un entier relatif, on considère l'équation (modulo 12).

a. La solution est b. Il y a une infinité d'entiers solutions.

c.

d. Toutes les solutions sont des entiers pairs.

2. On considère l'équation (modulo 6), où

a. Toutes les solutions sont des entiers pairs.

b. Il n'y a aucune solution.

c. Les solutions vérifient (modulo 6).

d. Les solutions vérifient (modulo 6) ou (modulo 6).

3. Soient deux entiers relatifs n et p vérifiant les relations :

(modulo 10) et (modulo 5).

Alors :

a. (modulo 5). b. (modulo 10).

c. (modulo 5). d. (modulo 2).

4. Soient les nombres et Alors :

a. (modulo 17) et (modulo 17).

b. p est un nombre premier.

c. (modulo 17). d. (modulo 17).

1. Dressons un tableau des restes modulo 12 :

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x2

0

1

4

9

4

1

0

1

4

9

4

1

D'après ce tableau, la proposition a. est fausse, car il y a d'autres solutions.

Les solutions sont (modulo 12) ou (modulo 12), ce qu'on peut aussi écrire ou, , ou encore , , ce qui représente une infinité d'entiers solution.

Les propositions b. et c. sont donc vraies.

De plus, tous ces entiers sont pairs, donc la proposition d. est vraie également.

(La réciproque de la proposition d. est fausse, par contre).

2. La proposition a. est fausse car – 1 est solution de cette équation et – 1 est impair.

Le b. par conséquent également.

Et comme – 1 est solution de l'équation, l'affirmation c. est fausse, car il y a

des solutions x non congrues à 2 (modulo 6).

La seule bonne réponse est la d. (puisqu'il y en a au moins une).

(Autre méthode : résoudre l'équation par un tableau des restes).

3. Prenons comme contre-exemple n = 3 et p = 2.

Alors on a bien (modulo 10) et (modulo 5).

Cet exemple contredit la proposition a. car (modulo 5). Donc on élimine cette proposition.

Si on prend n = 8 et p = 2. Les conditions sont vérifiées également, et cet

exemple contredit la proposition b. car (modulo 10). Cet exemple contredit également la proposition d. car (modulo 2) équivaut à n impair, ce qui n'est pas le cas avec 8. La seule proposition valable est donc la c.

Autre méthode possible

Remarquer que si (modulo 5), alors (modulo 10) ou (modulo 10), puis distinguer ces deux cas en dressant à chaque fois le tableau des restes modulo 10 correspondants.

4. On peut déjà éliminer le b. : p est le produit de 2 007 entiers (premiers) différents de 1 (tous égaux à 1 789), donc p n'est pas premier.

, donc (modulo 17).

Testons les premières puissances de 4 :

(modulo 17) (modulo 17)  (modulo 17) 

(modulo 17).

Or, donc :

(modulo 17).

La seule bonne réponse est donc la c.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner