Un producteur de semences vend un mélange de graines qui donneront soit des fleurs rouges, soit des fleurs bleues. Il annonce une proportion de 20 % de fleurs rouges.
Un organisme de contrôle plante des échantillons de 50 graines aléatoirement prélevées chez ce producteur. La production est suffisamment importante pour considérer qu'il s'agit de tirages au hasard avec remise.
Le protocole est le suivant : sur un échantillon, on compte le nombre de fleurs rouges obtenues.
Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de fleurs rouges observées sur un échantillon de taille 50.
On accepte l'hypothèse selon laquelle la proportion de graines de fleurs rouges est p = 0,2, lorsque la fréquence de fleurs rouges f observée sur l'échantillon se situe dans l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % pour la fréquence 
.
Partie A.
On se place sous l'hypothèse 
1. Démontrer que X suit une loi binomiale de paramètres 
et 
2. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % pour la fréquence 
| Voir le cours V et le savoir-faire 3. |
3. Quelle est la probabilité de rejeter à tort un échantillon ?
On donne 
|
|
s'obtient soit avec le tableur = LOI.BINOMIALE(4 50 0,2 1), soit en calculant 
pour Partie B.
Suite à une fausse manœuvre, la proportion de graines de fleurs rouges dans le mélange vendu est, en réalité, de 30 %. On considère la variable aléatoire Y correspondant au nombre de fleurs rouges sur un échantillon de taille 50.
1. Donner les paramètres de la loi binomiale suivie par Y.
2. Quelle est la probabilité de décider, à tort, que la proportion annoncée (20 %) est respectée alors qu'elle est de 30 % ? Cette méthode semble-t-elle fiable pour détecter l'erreur ?
On donne 
| On accepte à tort la valeur de 20% si la fréquence de l'échantillon observé tombe dans l'intervalle construit partie A. |
Partie A.
1. L'expérience consistant à tester une graine et à appeler succès le fait que la fleur soit rouge constitue une épreuve de Bernoulli de paramètre 
Lorsqu'on tire au hasard avec remise 50 graines, on répète 50 fois la même épreuve de Bernoulli de paramètre 
de façon indépendante. X représente donc le nombre de succès dans cette épreuve de Bernoulli de paramètres 
, donc X suit bien une loi 
.
2. 
,
donc l'intervalle de fluctuation asymptotique pour la fréquence 
est :
en arrondissant les bornes à 0,001 près.
3. On rejette à tort l'échantillon lorsque la fréquence observée n'est pas dans l'intervalle 
, c'est-à-dire lorsque la valeur observée de X n'est pas dans l'intervalle 
.
Or 
car X est entier
car ces événements sont disjoints
en passant à l'événement contraire 
près.
La probabilité de rejeter à tort l'échantillon est de 0,0493 à 
près.
| On rejette bien l'hypothèse à tort dans moins de 5 % des cas. |
Partie B.
1. Comme dans la partie A, Y suit une loi 
2. On ne rejette pas à tort la valeur de 20 % lorsque la valeur observée de 
est dans 
, c'est-à-dire lorsque la valeur observée pour Y est dans 
.
On cherche donc 
car Y est entier.
Or 
Donc 
près.
On ne rejette donc pas à tort la proportion de 20 % dans près de 57 % des échantillons observés. Cette méthode ne semble donc pas fiable pour détecter cette erreur.
| Ici la différence entre les deux valeurs de p est trop faible pour que les lois de X et de Y donnent des valeurs significativement différentes, comme le montrent les diagrammes en barres des distributions de X et Y ci-après. |
