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Exercices
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Estimation

Un producteur de semences vend un mélange de graines qui donneront soit des fleurs rouges, soit des fleurs bleues. Il annonce une proportion de 20 % de fleurs rouges.

Un organisme de contrôle plante des échantillons de 50 graines aléatoirement prélevées chez ce producteur. La production est suffisamment importante pour considérer qu’il s’agit de tirages au hasard avec remise.

Le protocole est le suivant :  sur un échantillon, on compte le nombre de fleurs rouges obtenues.

Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de fleurs rouges observées sur un échantillon de taille 50.

On accepte l’hypothèse selon laquelle la proportion de graines de fleurs rouges est p = 0,2, lorsque la fréquence de fleurs rouges f observée sur l’échantillon se situe dans l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % pour la fréquence .

Partie A.

On se place sous l’hypothèse

1. Démontrer que X suit une loi binomiale de paramètres et

2. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % pour la fréquence

Voir le cours V et le savoir-faire 3.

3. Quelle est la probabilité de rejeter à tort un échantillon ?

On donne

s’obtient soit avec le tableur = LOI.BINOMIALE(4 ; 50 ; 0,2 ; 1), soit en calculant pour k allant de 0 à 4 et en additionnant les valeurs obtenues.

Partie B.

Suite à une fausse manœuvre, la proportion de graines de fleurs rouges dans le mélange vendu est, en réalité, de 30 %. On considère la variable aléatoire Y correspondant au nombre de fleurs rouges sur un échantillon de taille 50.

1. Donner les paramètres de la loi binomiale suivie par Y.

2. Quelle est la probabilité de décider, à tort, que la proportion annoncée (20 %) est respectée alors qu’elle est de 30 % ? Cette méthode semble-t-elle fiable pour détecter l’erreur ?

On donne

On accepte à tort la valeur de 20% si la fréquence de l’échantillon observé tombe dans l’intervalle construit partie A.