Exercice corrigé Ancien programme

qualité du test

Un producteur de semences vend un mélange de graines qui donneront soit des fleurs rouges, soit des fleurs bleues. Il annonce une proportion de 20 % de fleurs rouges.

Un organisme de contrôle plante des échantillons de 50 graines aléatoirement prélevées chez ce producteur. La production est suffisamment importante pour considérer qu'il s'agit de tirages au hasard avec remise.

Le protocole est le suivant :  sur un échantillon, on compte le nombre de fleurs rouges obtenues.

Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de fleurs rouges observées sur un échantillon de taille 50.

On accepte l'hypothèse selon laquelle la proportion de graines de fleurs rouges est p = 0,2, lorsque la fréquence de fleurs rouges f observée sur l'échantillon se situe dans l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % pour la fréquence .

Partie A.

On se place sous l'hypothèse

1. Démontrer que X suit une loi binomiale de paramètres et

2. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % pour la fréquence

Voir le cours V et le savoir-faire 3.

3. Quelle est la probabilité de rejeter à tort un échantillon ?

On donne

s'obtient soit avec le tableur = LOI.BINOMIALE(4 50 0,2 1), soit en calculant pour k allant de 0 à 4 et en additionnant les valeurs obtenues.

Partie B.

Suite à une fausse manœuvre, la proportion de graines de fleurs rouges dans le mélange vendu est, en réalité, de 30 %. On considère la variable aléatoire Y correspondant au nombre de fleurs rouges sur un échantillon de taille 50.

1. Donner les paramètres de la loi binomiale suivie par Y.

2. Quelle est la probabilité de décider, à tort, que la proportion annoncée (20 %) est respectée alors qu'elle est de 30 % ? Cette méthode semble-t-elle fiable pour détecter l'erreur ?

On donne

On accepte à tort la valeur de 20% si la fréquence de l'échantillon observé tombe dans l'intervalle construit partie A.

Partie A.

1. L'expérience consistant à tester une graine et à appeler succès le fait que la fleur soit rouge constitue une épreuve de Bernoulli de paramètre Lorsqu'on tire au hasard avec remise 50 graines, on répète 50 fois la même épreuve de Bernoulli de paramètre de façon indépendante. X représente donc le nombre de succès dans cette épreuve de Bernoulli de paramètres , donc X suit bien une loi .

2. ,
donc l'intervalle de fluctuation asymptotique pour la fréquence est :

en arrondissant les bornes à 0,001 près.

3. On rejette à tort l'échantillon lorsque la fréquence observée n'est pas dans l'intervalle , c'est-à-dire lorsque la valeur observée de X n'est pas dans l'intervalle .

Or car X est entier

car ces événements sont disjoints

en passant à l'événement contraire

près.

La probabilité de rejeter à tort l'échantillon est de 0,0493 à près.

On rejette bien l'hypothèse à tort dans moins de 5 % des cas.

Partie B.

1. Comme dans la partie A, Y suit une loi

2. On ne rejette pas à tort la valeur de 20 % lorsque la valeur observée de est dans , c'est-à-dire lorsque la valeur observée pour Y est dans .

On cherche donc car Y est entier.

Or

Donc près.

On ne rejette donc pas à tort la proportion de 20 % dans près de 57 % des échantillons observés. Cette méthode ne semble donc pas fiable pour détecter cette erreur.

Ici la différence entre les deux valeurs de p est trop faible pour que les lois de X et de Y donnent des valeurs significativement différentes, comme le montrent les diagrammes en barres des distributions de X et Y ci-après.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner