Exercice corrigé Ancien programme

racines n-ièmes de l'unité

1. Résoudre dans l'équation (on pourra rechercher le module et les arguments des solutions de 2. a. Cas général : pour tout entier naturel non nul n, résoudre l'équation (En) :

z n = 1.

b. On note les points du plan d'affixe respectivement démontrer que le polygone est régulier.

3. Déterminer les solutions de et

1. Soit z une solution de (E3), z s'écrivant sous forme trigonométrique avec

De l'égalité on déduit que
d'où

Les solutions de sont donc

2. a. Soit z une solution de z s'écrivant sous forme trigonométrique avec

De l'égalité on déduit que d'où

Les solutions de sont donc les k variant de 0 à

b. Dans ce qui suit, k désigne un entier compris entre 1 et n (on posera Démontrons que tous les triangles sont isocèles en O, de même angle principal.

et

Les points An sont disposés régulièrement sur le cercle de centre O et de rayon 1. Le polygone A1A2 … An est donc régulier.

On aurait également obtenu ce résultat en démontrant que, pour tout k, et (valeur indépendante de k). Le polygone A1
A2…An a alors tous ses côtés de même longueur et tous ses angles au centre de même mesure.

3.Les solutions de sont soit 1, i, -1 et -i.

Les solutions de sont

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