Exercice corrigé Ancien programme

recherche du bénéfice

Partie A – Étude d'une fonction

On considère la fonction numérique f définie sur l'intervalle par :

.

On désigne par sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé avec 2 cm comme unité graphique.

1. Étudier la position de la courbe par rapport à la droite d'équation .

2. a. Résoudre sur l'intervalle I l'inéquation suivante :

.

b. À l'aide de la question précédente, étudier les variations de la fonction f sur I.

c. Dresser le tableau de variation de f. En déduire le signe de f sur .

3. a. Montrer que la tangente à au point d'abscisse 0 passe par le point .

b. Construire , et .

Partie B – Application économique

x étant le nombre d'objets, exprimé en centaines, fabriqués par une usine, est leur coût total exprimé en milliers d'euros. On suppose que x appartient à l'intervalle .

Chaque objet est vendu 5 e pièce.

On suppose que la fabrication est vendue dans sa totalité.

1. a. Exprimer la recette , en milliers d'euros, en fonction du nombre x de centaines d'objets fabriqués.

b. Construire, sur le graphique précédent, la courbe représentative Δ de la fonction R traduisant cette recette.

c. Vérifier graphiquement que Δ et se coupent en un seul point. On désigne par a l'abscisse de ce point en donner une valeur approchée à .

2. a. Montrer que le bénéfice, noté , s'exprime en milliers d'euros par :

.

b. Quel est, en euros, le bénéfice obtenu en fabriquant 1 000 objets ? On donnera une valeur arrondie à l'euro.

c. Calculer et étudier le sens de variation de B sur .

d. Démontrer que l'équation admet une solution unique sur J.

Montrer que cette solution est le nombre a défini dans la question 1. c.

Donner un encadrement de a d'amplitude .

e. En déduire le nombre entier minimal d'objets à produire pour réaliser un bénéfice.

Recherche du bénéfice

1. Pour tout x de , on a .

Une exponentielle étant toujours strictement positive, on a .

La courbe est toujours au-dessus de la droite .

2. a. 

L'ensemble des solutions est .

b. Pour tout x de , on a .

est du même signe que .

Sur , on a donc . f est croissante sur .

Sur , on a donc . f est décroissante sur .

c. 

.

.

.

f admet en 2,5 un minimum qui vaut 2. On a donc sur .

3. a. Une équation de est : , soit .

Pour , on a .

passe par .

b. Pour , si , alors .

Pour construire , on dresse un tableau de valeurs.

x

0

1

2

3

4

6

8

10

12

2,72

2,22

2,02

2,02

2,15

2,65

3,31

4,05

4,82

1. a. x centaines d'objets rapportent 500x euros, soit 0,5x milliers d'euros.

On a donc : .

b. Voir le graphique page précédente.

c. Graphiquement, Δ et se coupent en un seul point d'abscisse a qui vaut 4,5 à  près.

2. a. Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût total.

.

On a bien : .

b. 1 000 objets sont 10 centaines d'objets.

. Pour 1 000 objets fabriqués, le bénéfice est de 950  à 1  près (0,950 milliers).

c. Sur , on a , soit

On a donc et B est strictement croissante sur .

d. De plus, et .

L'équation admet une solution unique sur J et qui appartient à .

.

L'unique solution de est a défini dans la question 1. c. comme l'abscisse du point commun à Δ et à .

x

4,4

4,45

4,48

4,49

4,5

On a donc .

e. Pour , on a car B est strictement croissante et que .

Pour , le bénéfice est positif.

x exprime le nombre d'objets en centaines : il faut produire au minimum 450 objets pour réaliser un bénéfice.

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