recherche du bénéfice

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Exercices
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles

Partie A – Étude d’une fonction

On considère la fonction numérique f définie sur l’intervalle par :

.

On désigne par sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé avec 2 cm comme unité graphique.

1. Étudier la position de la courbe par rapport à la droite d’équation .

2. a. Résoudre sur l’intervalle I l’inéquation suivante :

.

b. À l’aide de la question précédente, étudier les variations de la fonction f sur I.

c. Dresser le tableau de variation de f. En déduire le signe de f sur .

3. a. Montrer que la tangente à au point d’abscisse 0 passe par le point .

b. Construire , et .

Partie B – Application économique

x étant le nombre d’objets, exprimé en centaines, fabriqués par une usine, est leur coût total exprimé en milliers d’euros. On suppose que x appartient à l’intervalle .

Chaque objet est vendu 5 e pièce.

On suppose que la fabrication est vendue dans sa totalité.

1. a. Exprimer la recette , en milliers d’euros, en fonction du nombre x de centaines d’objets fabriqués.

b. Construire, sur le graphique précédent, la courbe représentative Δ de la fonction R traduisant cette recette.

c. Vérifier graphiquement que Δ et se coupent en un seul point. On désigne par a l’abscisse de ce point ; en donner une valeur approchée à .

2. a. Montrer que le bénéfice, noté , s’exprime en milliers d’euros par :

.

b. Quel est, en euros, le bénéfice obtenu en fabriquant 1 000 objets ? On donnera une valeur arrondie à l’euro.

c. Calculer et étudier le sens de variation de B sur .

d. Démontrer que l’équation admet une solution unique sur J.

Montrer que cette solution est le nombre a défini dans la question 1. c.

Donner un encadrement de a d’amplitude .

e. En déduire le nombre entier minimal d’objets à produire pour réaliser un bénéfice.