Partie A – Étude d’une fonction
On considère la fonction numérique f définie sur l’intervalle 
par :
.
On désigne par 
sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé avec 2 cm comme unité graphique.
1. Étudier la position de la courbe 
par rapport à la droite 
d’équation 
.
2. a. Résoudre sur l’intervalle I l’inéquation suivante :
.
b. À l’aide de la question précédente, étudier les variations de la fonction f sur I.
c. Dresser le tableau de variation de f. En déduire le signe de f sur 
.
3. a. Montrer que la tangente 
à 
au point d’abscisse 0 passe par le point 
.
b. Construire 
, 
et 
.
Partie B – Application économique
x étant le nombre d’objets, exprimé en centaines, fabriqués par une usine, 
est leur coût total exprimé en milliers d’euros. On suppose que x appartient à l’intervalle 
.
Chaque objet est vendu 5 e pièce.
On suppose que la fabrication est vendue dans sa totalité.
1. a. Exprimer la recette 
, en milliers d’euros, en fonction du nombre x de centaines d’objets fabriqués.
b. Construire, sur le graphique précédent, la courbe représentative Δ de la fonction R traduisant cette recette.
c. Vérifier graphiquement que Δ et 
se coupent en un seul point. On désigne par a l’abscisse de ce point en donner une valeur approchée à 
.
2. a. Montrer que le bénéfice, noté 
, s’exprime en milliers d’euros par :
.
b. Quel est, en euros, le bénéfice obtenu en fabriquant 1 000 objets ? On donnera une valeur arrondie à l’euro.
c. Calculer 
et étudier le sens de variation de B sur 
.
d. Démontrer que l’équation 
admet une solution unique sur J.
Montrer que cette solution est le nombre a défini dans la question 1. c.
Donner un encadrement de a d’amplitude 
.
e. En déduire le nombre entier minimal d’objets à produire pour réaliser un bénéfice.
