Partie A – Étude d'une fonction
On considère la fonction numérique f définie sur l'intervalle 
par :
.
On désigne par 
sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé avec 2 cm comme unité graphique.
1. Étudier la position de la courbe 
par rapport à la droite 
d'équation 
.
2. a. Résoudre sur l'intervalle I l'inéquation suivante :
.
b. À l'aide de la question précédente, étudier les variations de la fonction f sur I.
c. Dresser le tableau de variation de f. En déduire le signe de f sur 
.
3. a. Montrer que la tangente 
à 
au point d'abscisse 0 passe par le point 
.
b. Construire 
, 
et 
.
Partie B – Application économique
x étant le nombre d'objets, exprimé en centaines, fabriqués par une usine, 
est leur coût total exprimé en milliers d'euros. On suppose que x appartient à l'intervalle 
.
Chaque objet est vendu 5 e pièce.
On suppose que la fabrication est vendue dans sa totalité.
1. a. Exprimer la recette 
, en milliers d'euros, en fonction du nombre x de centaines d'objets fabriqués.
b. Construire, sur le graphique précédent, la courbe représentative Δ de la fonction R traduisant cette recette.
c. Vérifier graphiquement que Δ et 
se coupent en un seul point. On désigne par a l'abscisse de ce point en donner une valeur approchée à 
.
2. a. Montrer que le bénéfice, noté 
, s'exprime en milliers d'euros par :
.
b. Quel est, en euros, le bénéfice obtenu en fabriquant 1 000 objets ? On donnera une valeur arrondie à l'euro.
c. Calculer 
et étudier le sens de variation de B sur 
.
d. Démontrer que l'équation 
admet une solution unique sur J.
Montrer que cette solution est le nombre a défini dans la question 1. c.
Donner un encadrement de a d'amplitude 
.
e. En déduire le nombre entier minimal d'objets à produire pour réaliser un bénéfice.
Recherche du bénéfice
1. Pour tout x de 
, on a 
.
Une exponentielle étant toujours strictement positive, on a 
.
La courbe 
est toujours au-dessus de la droite 
.
2. a. 
L'ensemble des solutions est 
.
b. Pour tout x de 
, on a 
.
est du même signe que 
.
Sur 
, on a donc 
. f est croissante sur 
.
Sur 
, on a donc 
. f est décroissante sur 
.
c.
.
.
.
f admet en 2,5 un minimum qui vaut 2. On a donc 
sur 
.
3. a. Une équation de 
est : 
, soit 
.
Pour 
, on a 
.
passe par 
.
b. Pour 
, si 
, alors 
.
Pour construire 
, on dresse un tableau de valeurs.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
|
| 2,72 | 2,22 | 2,02 | 2,02 | 2,15 | 2,65 | 3,31 | 4,05 | 4,82 |
1. a. x centaines d'objets rapportent 500x euros, soit 0,5x milliers d'euros.
On a donc : 
.
b. Voir le graphique page précédente.
c. Graphiquement, Δ et 
se coupent en un seul point d'abscisse a qui vaut 4,5 à 
près.
2. a. Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût total.
.
On a bien : 
.
b. 1 000 objets sont 10 centaines d'objets.
. Pour 1 000 objets fabriqués, le bénéfice est de 950 € à 1 € près (0,950 milliers).
c. Sur 
, on a 
, soit 
On a donc 
et B est strictement croissante sur 
.
d. De plus, 
et 
.
L'équation 
admet une solution unique sur J et qui appartient à 
.
.
L'unique solution de 
est a défini dans la question 1. c. comme l'abscisse du point commun à Δ et à 
.
| x | 4,4 | 4,45 | 4,48 | 4,49 | 4,5 |
|
|
|
|
|
|
|
On a donc 
.
e. Pour 
, on a 
car B est strictement croissante et que 
.
Pour 
, le bénéfice est positif.
x exprime le nombre d'objets en centaines : il faut produire au minimum 450 objets pour réaliser un bénéfice.