Relation d'euler

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Exercices
Classe(s) : 1re S | Thème(s) : Produit scalaire dans le plan

1. Soit M un point quelconque du plan.

a. Démontrer que .

On remarquera que .

b. Application : Supposons que . Soit un cercle de centre I et de rayon 2. Démontrer que, pour tout point P du cercle, le produit scalaire est constant, et donner sa valeur.

2. On suppose dans cette question que .

a. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que .

On pourra montrer que si, et seulement si, .

b. Déterminer de même l’ensemble des points M du plan tels que :

.

c. Déterminer enfin l’ensemble des points M du plan tels que .

3. Soit M un point quelconque du plan.

a. Supposons tout d’abord que M est sur le cercle de diamètre . Que vaut alors  ?

b. Quel est le signe de lorsque M est à l’extérieur du cercle de diamètre  ? Et si M est à l’intérieur du cercle ?

c. On a donc les équivalences :

est à l’extérieur du cercle de diamètre .

est sur le du cercle de diamètre .

est à l’intérieur du cercle de diamètre .

Application : Dans le plan muni d’un repère orthonormal, on donne et . Donner la position de chacun des points suivants par rapport au cercle de diamètre , et .