Relation de chasles

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Exercices
Classe(s) : 1re S | Thème(s) : Géométrie plane


Une urne contient une proportion p de boules rouges. On prélève successivement n boules, avec remise dans cette urne. Toutes les boules sont indiscernables au toucher.

1. a. Justifier que la variable aléatoire Sn correspondant au nombre de boules rouges obtenues (nombre de « succès ») sur cet échantillon de taille n suit la loi binomiale de paramètres n et p.

b. En déduire son espérance et sa variance en fonction de n et p.

2. La fréquence des boules rouges dans l’échantillon de taille n est la variable aléatoire définie par :

.

Déterminer l’espérance de Fn et sa variance en fonction de n et p.

3. On admet ici la propriété suivante : Si n est supérieur ou égal à 30, np et supérieurs ou égaux à 5, alors :

,

c’est-à-dire qu’environ 95 % des échantillons aléatoires de taille n fournissent une fréquence appartenant à l’intervalle :

.

À l’aide d’une étude de la fonction définie sur par , retrouver la propriété moins précise suivante, vue en classe de seconde : si et , alors dans plus de 95 % des cas, la fréquence f observée sur cet échantillon appartient à l’intervalle .

Commencer par démontrer que f est positive et admet un maximum égal à , atteint pour . En déduire une majoration de en fonction de , puis l’inclusion des intervalles donnés. Conclure après avoir vérifié la validité des conditions de l’hypothèse.