Exercice corrigé Ancien programme

Rentabilité d'une entreprise

Une entreprise fabrique et commercialise un produit liquide en situation de monopole. Elle peut donc modéliser son coût moyen de production ainsi que son prix de vente, afin de déterminer son seuil de rentabilité.

1. Étude du coût moyen

Une étude a permis de modéliser le coût moyen de production par :

.

Le coût moyen est exprimé en milliers d'euros et la quantité produite x en hectolitres. On appelle la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé du plan (unité graphique : 1 cm).

a. Étudier les variations de f sur l'intervalle .

b. Étudier la position relative de par rapport à la droite d'équation

c. Construire , ainsi que , en donnant un tableau de valeurs pour f.

2. Seuils de rentabilité pour l'entreprise

L'entreprise ne peut être bénéficiaire que si le prix de vente de l'hectolitre est supérieur au coût moyen de fabrication.

Le prix de vente de l'hectolitre est fonction de la quantité x vendue :

,

est exprimé en milliers d'euros et x en hectolitres.

a. On note la représentation graphique de la fonction p.

Tracer dans le même repère que .

b. Déterminer graphiquement dans quel intervalle doit se situer la production x pour que l'entreprise soit bénéficiaire.

c. Retrouver le résultat précédent par le calcul. (On pourra se ramener à une inéquation du second degré.)

1. b. Pour étudier la position de la courbe par rapport à la droite , il faut étudier le signe de .

Rentabilité d'une entreprise

1. a. Sur , on a .

f croît sur et f décroît sur .

b. Pour tout x de , on a :

.

Comme on a , on a

est toujours au-dessus de la droite .

c.

x

0,5

1

2

3

4

5

7

10

 

16,25

8,5

5

4,17

4

4,1

4,64

5,8

2. a. La fonction p étant affine, sa représentation graphique est une droite.

b. Graphiquement l'entreprise est bénéficiaire quand la droite est au-dessus de la courbe .

c. On a :

On étudie le signe de  :

.

Il y a deux racines :

, soit à 0,1 près

et , soit à 0,1 près.

est positif ou nul sur .

On en déduit que l'entreprise est bénéficiaire pour une production comprise dans.

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