Exercice corrigé Ancien programme

Rentabilité d'une entreprise

Partie A

On donne la fonction f définie sur par :

.

1. Étudier le sens de variation de 2. Démontrer que :

si , alors .

Partie B

On souhaite étudier les variations de volume d'essence que l'on peut acheter avec une somme fixe en fonction des variations du prix du carburant.

1. a. Le prix d'un litre d'essence est p (p est exprimé en euros).

Quel est le volume de carburant V1 acheté pour 100  ?

b. Le prix de l'essence a augmenté de 25 % par rapport à p. Quel est le volume V2 acheté pour 100  ?

c. Calculer et vérifier que le pourcentage de diminution de volume du carburant acheté est 20 %.

2. Plus généralement, démontrer qu'à dépense constante, si le prix augmente de % alors le volume baisse de % avec :

.

3. On pose et .

Exprimer y en fonction de x.

4. A-t-on raison de dire « À dépense constante, pour une augmentation du prix de l'essence inférieure à 10 %, la diminution du volume de carburant acheté en résultant est inférieure à 10 % » ?

Justifier la réponse.

Rentabilité d'une entreprise

1. Sur , on a .

Donc .

Pour tout x de , on a . Donc f est strictement croissante sur .

2. f étant strictement croissante sur  :

si , alors on a

avec .

On a bien, si , alors on a .

1. a. On a , donc .

b. Augmenter le prix de 25 % revient à le multiplier par , soit par 1,25.

Le prix de l'essence est donc 1,25p.

On a .

Donc ou encore .

c. , donc .

On a donc .

Le volume du carburant acheté a bien diminué de 20 %.

2. Soit p le prix au litre et V le volume acheté.

Soit le prix après une hausse de t % et le volume correspondant.

On veut : avec .

On a donc , soit .

Avec : .

Le volume baisse de n % avec .

3. .

On a donc : .

4. Une hausse du prix de l'essence inférieure à 10 % correspond à ,
c'est-à-dire à , donc à d'après A2.

On a alors , soit .

Comme est plus petit que 10, on a raison de dire :

« À dépense constante, pour une augmentation du prix de l'essence inférieure à 10 %, la diminution du volume de carburant acheté en résultant est inférieure à 10 %. »

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