Les deux extrémités A et B d'une barre de longueur 10 cm coulissent respectivement le long de deux axes 
et 
perpendiculaires.
On note x la longueur OA.
1. Dans quel intervalle x varie-t-il ?
2. a. Exprimer OB en fonction de x.
b. On note p le périmètre de OAB.
Exprimer p en fonction de x.
3. Soit f la fonction définie sur 
par 
.
a. Calculer 
.
b. Étudier le signe de 
selon les valeurs de x.
c. Dresser le tableau des variations de f.
d. Représenter graphiquement f dans un repère orthogonal avec comme unités 1 cm pour une unité en abscisses et 1 cm pour deux unités en ordonnées.
4. Que vaut au maximum le périmètre de OAB ?
Pour quelle valeur de x ce périmètre est-il maximal ?
Préciser alors la nature de OAB.
Résolution d'un problème de géométrie
1. x représente la longueur OA, donc 
.
On a toujours 
, donc 
. x varie dans 
.
2. a. OAB est rectangle en O, donc d'après le théorème de Pythagore, on a :
.
Comme OB est une longueur, on a 
.
b. Le périmètre de OAB est 
, soit 
.
3. a. Pour tout x de 
, on a 
.
.
b. 
Sur 
, on a 
et sur 
, on a 
.
c.
avec 
, 
et 
.
d. La figure n'est pas en vraie grandeur.
4. Le périmètre p, qui correspond à la fonction f, atteint son maximum pour 
.
Ce maximum de 
vaut 
.
On a alors 
.
Le périmètre de OAB est maximal lorsque OAB est isocèle et rectangle en O.
Remarque : Quand AOB est isocèle et rectangle en O, l'aire de AOB est aussi maximale.
Les résultats précédents demeurent vrais quand on choisit une autre longueur constante pour 
. De tous les triangles rectangles ayant la même hypoténuse, celui qui est isocèle a le plus grand périmètre et la plus grande aire.