Exercice corrigé Ancien programme

Résolution d'un problème de géomètrie

Les deux extrémités A et B d'une barre de longueur 10 cm coulissent respectivement le long de deux axes et perpendiculaires.

On note x la longueur OA.

1. Dans quel intervalle x varie-t-il ?

2. a. Exprimer OB en fonction de x.

b. On note p le périmètre de OAB.

Exprimer p en fonction de x.

3. Soit f la fonction définie sur par .

a. Calculer .

b. Étudier le signe de selon les valeurs de x.

c. Dresser le tableau des variations de f.

d. Représenter graphiquement f dans un repère orthogonal avec comme unités 1 cm pour une unité en abscisses et 1 cm pour deux unités en ordonnées.

4. Que vaut au maximum le périmètre de OAB ?

Pour quelle valeur de x ce périmètre est-il maximal ?

Préciser alors la nature de OAB.

Résolution d'un problème de géométrie

1. x représente la longueur OA, donc .

On a toujours , donc . x varie dans .

2. a. OAB est rectangle en O, donc d'après le théorème de Pythagore, on a :

.

Comme OB est une longueur, on a .

b. Le périmètre de OAB est , soit .

3. a. Pour tout x de , on a .

.

b. 

Sur , on a et sur , on a .

c. 

avec , et .

d. La figure n'est pas en vraie grandeur.

4. Le périmètre p, qui correspond à la fonction f, atteint son maximum pour .

Ce maximum de vaut .

On a alors .

Le périmètre de OAB est maximal lorsque OAB est isocèle et rectangle en O.

Remarque : Quand AOB est isocèle et rectangle en O, l'aire de AOB est aussi maximale.

Les résultats précédents demeurent vrais quand on choisit une autre longueur constante pour . De tous les triangles rectangles ayant la même hypoténuse, celui qui est isocèle a le plus grand périmètre et la plus grande aire.

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