Exercice corrigé Ancien programme

restes dans une division euclidienne

1. Déterminer les restes de la division euclidienne, pour de par 7.

2. Déterminer les restes de la division euclidienne par 7 de

3. Déterminer le chiffre des unités de

1. On rappelle que, pour tout, r est le reste de la division euclidienne

de x par 7 si, et seulement si, et (modulo 7).

Voir le savoir-faire 4.

Commençons par regarder les restes modulo 7 des premières puissances de 3 :

Puissance de 3

30

31

32

33

34

35

36

Reste modulo 7

1

3

2

6

4

5

1

Ainsi, pour tout, (modulo 7).

Soit alors . On effectue la division euclidienne de n par 6 :

il existe, tel queavec.

Alors et comme :

(modulo 7).

Ainsi, dans la division euclidienne de 3n par 7 :

Si, (modulo 7) : le reste est 1.

Si , (modulo 7) : le reste est 3.

Si , (modulo 7) : le reste est 2.

Si , (modulo 7) : le reste est 6.

Si , (modulo 7) : le reste est 4.

Si , (modulo 7) : le reste est 5.

2. , donc (modulo 7).

Ainsi, pour tout , (modulo 7).

Pour , on effectue la division euclidienne de 2 000 par 6 :

.

D'après 1., (modulo 7), donc (modulo 7).

Le reste de la division euclidienne de par 7 est donc 2.

3. On commence par démontrer que dans notre système décimal, tout nombre entier naturel est congru modulo 10 au chiffre de ses unités.

Pour , il existe , , tels que, a0 étant le chiffre des unités de n.

Or (modulo 10), donc pour tout , (modulo 10).

On en déduit (modulo 10).

Alors (modulo 10), donc (modulo 10).

Comme et (modulo 10), (modulo 10).

On écrit alors, dont on déduit .

Alors (modulo 10), donc (modulo 10).

On en déduit que le chiffre des unités de est 7.

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