Exercice corrigé Ancien programme

restitution organisée de connaissances

Le but de cet exercice est de démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme

On va raisonner par l'absurde : on suppose qu'il existe un nombre fini de nombres premiers de la forme et on les note p1, p2, . . . , pn.

1. a. Démontrer que le produit de nombres de la forme est également de la forme

b. Démontrer que tout nombre premier différent de 2 est de la forme :

ou

2. Soit

a. Montrer, à l'aide de la question 1., qu'il existe un nombre premier de la forme qui divise N.

b. Conclure.

1. a. Soit, r entiers naturels de la formec'est-à-dire tels que pour tout, , (modulo 4).

Alors(modulo 4).

est donc de la forme.

b. Les restes de la division euclidienne d'un entier par 4 étant 0, 1, 2 ou 3, tout

entier est donc de la forme 4k, , , avec.

Un nombre premier différent de 2 étant impair, il est donc bien de la forme

ouavec .

2. a. Puisque , alors (modulo 4), donc N est de la forme .

N n'est pas premier (car, pour tout , et on a supposé que étaient les seuls nombres premiers de la forme ), donc il existe tel que divise N (car sinon tous les diviseurs premiers de N seraient de la forme donc N aussi d'après la question 1.a. ce qui est impossible).

b. Puisque divise N et alors divise c'est-à-dire divise 1, ce qui absurde.

Il existe donc une infinité de nombres premiers de la forme .

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner