Au 1er janvier 2012, une entreprise s'est équipée d'un certain nombre de machines-outils identiques, coûtant chacune à l'achat 400 000 €.
Au bout de t années, chacune se revend en ayant perdu chaque année 26 % de sa valeur de l'année précédente on désigne par 
cette valeur de revente en milliers d'euros. On estime que l'entretien d'une machine coûte forfaitairement 20 000 €, pour l'utilisation jusqu'à sa revente.
1. Exprimer 
en fonction de t.
2. On modélise 
par la fonction suivante, définie sur 
par :
.
On désigne par 
le coût total d'utilisation d'une machine au bout de t années.
est donné par :
.
a. Calculer la dérivée de 
et étudier son signe.
Étudier les variations de la fonction C pour t appartenant à 
.
b. Vérifier qu'au bout de 15 ans, le coût total est pratiquement égal au prix d'achat augmenté du coût d'entretien, à 5 000 € près.
3. L'entreprise décide de revendre les machines dès que le coût total d'utilisation d'une machine dépasse 330 000 €.
a. Résoudre l'inéquation 
. Donner la réponse en nombre entier d'années.
b. Pour des raisons comptables, l'entreprise revend ses machines au mois de janvier.
En quelle année doit-elle le faire ?
Quel sera le prix de revente d'une machine à cette date ?
(On donnera la meilleure approximation de ce prix en nombre entier de milliers d'euros.)
1. Diminuer une valeur de a % revient à multiplier cette valeur par 
.
3. a. On utilisera l'équivalence suivante : pour 
, 
.
Revente des machines
1. On a 
et 
car chaque année la valeur diminue de 26 %. On a donc 
.
2. a. 
, donc 
.
Une exponentielle étant toujours positive, on a 
positif sur 
.
La fonction C est croissante sur 
.
b. 
à 
près.
Au bout de 15 ans, le coût total est de 415,55 milliers d'euros, soit le prix d'achat (400 milliers d'euros) augmenté du coût d'entretien (20 milliers d'euros), à 5 milliers d'euros près.
3. a. 
équivaut, avec t entier, à 
.
b. Les machines sont revendues au bout de 5 ans, soit en 2017.
à 0,1 près.
En 2017, le prix de vente est de 89 milliers d'euros à 1 millier près.
1. On assimile 
à une suite géométrique et on utilise la formule qui donne l'expression d'une suite géométrique en fonction du terme initial même si t peut prendre des valeurs qui ne sont pas entières.