Exercice corrigé Ancien programme

Revente des machines

Au 1er janvier 2012, une entreprise s'est équipée d'un certain nombre de machines-outils identiques, coûtant chacune à l'achat 400 000 €.

Au bout de t années, chacune se revend en ayant perdu chaque année 26 % de sa valeur de l'année précédente  on désigne par cette valeur de revente en milliers d'euros. On estime que l'entretien d'une machine coûte forfaitairement 20 000 €, pour l'utilisation jusqu'à sa revente.

1. Exprimer en fonction de t.

2. On modélise par la fonction suivante, définie sur par :

.

On désigne par le coût total d'utilisation d'une machine au bout de t années.

est donné par :

.

a. Calculer la dérivée de et étudier son signe.

Étudier les variations de la fonction C pour t appartenant à .

b. Vérifier qu'au bout de 15 ans, le coût total est pratiquement égal au prix d'achat augmenté du coût d'entretien, à 5 000  près.

3. L'entreprise décide de revendre les machines dès que le coût total d'utilisation d'une machine dépasse 330 000 .

a. Résoudre l'inéquation . Donner la réponse en nombre entier d'années.

b. Pour des raisons comptables, l'entreprise revend ses machines au mois de janvier.

En quelle année doit-elle le faire ?

Quel sera le prix de revente d'une machine à cette date ?

(On donnera la meilleure approximation de ce prix en nombre entier de milliers d'euros.)

1. Diminuer une valeur de a % revient à multiplier cette valeur par .

3a. On utilisera l'équivalence suivante : pour , .

Revente des machines

1. On a et car chaque année la valeur diminue de 26 %. On a donc .

2. a. , donc .

Une exponentielle étant toujours positive, on a positif sur .

La fonction C est croissante sur .

b.  à  près.

Au bout de 15 ans, le coût total est de 415,55 milliers d'euros, soit le prix d'achat (400 milliers d'euros) augmenté du coût d'entretien (20 milliers d'euros), à 5 milliers d'euros près.

3. a. 

équivaut, avec t entier, à .

b. Les machines sont revendues au bout de 5 ans, soit en 2017.

à 0,1 près.

En 2017, le prix de vente est de 89 milliers d'euros à 1 millier près.

1. On assimile à une suite géométrique et on utilise la formule qui donne l'expression d'une suite géométrique en fonction du terme initial même si t peut prendre des valeurs qui ne sont pas entières.

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