série harmonique et algorithme

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Exercices
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction logarithme népérien

Partie A

Soit () une suite définie par récurrence par :

désignant une fonction définie sur

L’algorithme suivant permet d’en obtenir les N premiers termes :

Variables : a, k, N

Lire N

a prend la valeur

Pour k allant de 1 à

Afficher «  »

a prend la valeur

1. Définir, par récurrence, la suite () dont il est question dans l’algorithme suivant :

VARIABLES

N EST_DU_TYPE NOMBRE

k EST_DU_TYPE NOMBRE

a EST_DU_TYPE NOMBRE

DEBUT_ALGORITHME

LIRE N

a PREND_LA_VALEUR 0

POUR k ALLANT_DE 1 A N-1

DEBUT_POUR

AFFICHER “u(“

AFFICHER k

AFFICHER “) = ”

AFFICHER a

a PREND_LA_VALEUR a+pow(k,2)

FIN_POUR

AFFICHER “u(“

AFFICHER N

AFFICHER “) = ”

AFFICHER a

FIN_ALGORITHME

2. Tester cet algorithme pour puis

 

Après l’affichage de «  », cocher « Ajouter un retour à la ligne ».

 

Partie B. Application aux séries harmoniques

Soit (un) la suite définie, pour tout par :

1. Montrer que la suite () est définie par récurrence ainsi :

2. En déduire un algorithme permettant de calculer les premiers termes de la suite ().

 

S’inspirer de l’algorithme de la 1re partie.

 

3. On veut montrer que, pour tout

Pour cela, on étudie la différence

a. Étudier les variations de f sur

b. En déduire le signe de sur

c. Conclure.

4. En déduire que, pour tout

5. Montrer alors que, pour tout

 

Ajouter membre à membre les inégalités (1) obtenues pour les valeurs de k,

 

6. En déduire la limite de la suite ().