Exercice corrigé Ancien programme

Service après-vente bonjour !

Un fabriquant de téléviseurs teste ses produits avant de les livrer chez ses clients. Si le test est positif, il livre le téléviseur au client. Sinon, il essaye de le réparer. Le test est positif pour 70 % des téléviseurs sortis de la chaine de fabrication, et 65 % des téléviseurs qu'il tente de réparer finissent par fonctionner et être livrés au client. Les autres sont détruits.

On note T l'événement « le test est positif » et C l'événement « le téléviseur est livré au client ». On choisit un téléviseur au hasard sortant de la chaîne de fabrication.

1. Déterminer les probabilités des événements T et C.

2. La fabrication d'un téléviseur coûte 1000 € au fabricant. Les réparations lui coûtent 50€ € de plus. On note a le prix de vente d'un téléviseur, et X la variable aléatoire égale au gain algébrique réalisé par le fabricant pour un téléviseur sortant de la chaine de fabrication.

a. Déterminer la loi de probabilité de X en fonction de a.

 

Le gain algébrique est égal au prix de vente moins les coûts pour le fabricant.

 

b. Exprimer l'espérance de X en fonction de a.

 

Pour la formule de l'espérance, voir cours, I. 3.

 

c. À partir de quel prix de vente (arrondi à l'euro) l'entreprise peut-elle espérer réaliser des bénéfices ?

 

On veut un gain strictement positif.

 

 

 

1. Les téléviseurs sont testés de façon équiprobable, donc et sachant que le test est négatif, le téléviseur est livré dans 65 % des cas, donc

On en déduit l'arbre pondéré suivant :

 

La règle des nœuds a permis de déterminer les probabilités et

 

.

2. a. Le gain est lorsque le test est positif:

.

Le gain est lorsque le test est négatif, mais que le téléviseur est réparé. Donc .

.

Le gain est lorsque le test est négatif et que la réparation échoue.

Donc

.

On peut résumer la loi de probabilité de la variable aléatoire X dans un tableau :

  1.  

    0,105

    0,195

    0,7

     

 

La somme des probabilités obtenues doit valoir 1 : cela permet de détecter une erreur, ou de calculer une des valeurs lorsqu'on a déjà trouvé toutes les autres.

 

b. L'espérance de X est :

c. L'entreprise peut espérer réaliser des bénéfices équivaut successivement à

Or à près, donc l'entreprise peut espérer réaliser des bénéfices à partir d'un prix de vente de euros.

 

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