Exercice corrigé Ancien programme

Services au tennis

Dans les compétitions de tennis, le service a toujours posé des problèmes d'arbitrage, en raison de la vitesse à laquelle se trouve propulsée la balle lors de cette mise en jeu. Depuis les années 1970, de nombreux inventeurs se sont donc démenés pour fournir aux arbitres un juge de ligne « électronique », plus fiable que l'être humain. Le système Cyclops, permettant de détecter si un service est trop long, a été utilisé sur la plupart des tournois internationaux de 1980 à 2007 : il est composé de 5 faisceaux lasers et de 5 récepteurs de lumière situés en face de ces faisceaux, de l'autre côté du court de tennis.

1. La longueur d'onde des faisceaux laser est . À quel domaine appartiennent les ondes électromagnétiques utilisées par le système Cyclops ?

2. Calculer la fréquence de ces rayonnements.

3. À quelle condition un objet placé sur le trajet de l'un de ces faisceaux risque-t-il d'engendrer un phénomène de diffraction ?

4. Sachant que la diffraction de l'un des faisceaux rendrait le système inopérant, expliquer pourquoi on a fixé la valeur de la longueur d'onde de façon à ce qu'elle soit la plus basse possible.

Lorsqu'un service est trop long, il passe devant l'un des faisceaux situés après la ligne, ce qui déclenche un bip sonore reproduit par un haut-parleur sur le court afin de prévenir l'arbitre qu'une faute a été détectée. Voici l'enregistrement de ce son ainsi que son analyse spectrale.

5. a. Déterminer aussi précisément que possible la fréquence de ce son.

b. La note appelée do1, jouée sur un piano par exemple, a une fréquence de 261,6 Hz. Le son produit lors d'une faute de service est-il plus grave ou plus aigu ?

c. Est-ce un son pur ? Justifier.

Afin de satisfaire un public toujours plus en recherche de statistiques et de records, des « radars de service », fonctionnant grâce à l'effet Doppler, sont installés sur de nombreux court de tennis, à 10 mètres derrière le joueur qui effectue son service. L'onde radio émise par ces radars a une fréquence .

6. a. À partir du moment où le radar détecte la balle en mouvement au-dessus de la tête du serveur, combien de temps faut-il avant que l'onde envoyée lui revienne après réflexion sur la balle ? (On considérera que la balle reste au-dessus du serveur pendant cette phase.)

b. La vitesse de la balle est-elle dirigée dans le même sens que la vitesse de l'onde écho reçue par le radar ?

c. On note v la vitesse de la balle et la fréquence de l'onde écho émise par la balle par réflexion de l'onde radar. Soit .

Montrer que .

d. Ivo Karlovic détient le record du monde de vitesse au service depuis mars 2011 : . Avec quelle variation de fréquence Δ la balle a-t-elle réfléchi l'onde radar lors de ce service ?

e. Ivo Karlovic détient également le record du monde de vitesse lors d'un second service : l'onde radar a alors été réfléchie avec une variation de fréquence . À quelle vitesse avait-il servi ?

Donnée : Célérité de la lumière : .

1. Les ondes émises par le système Cyclops se situent juste au-dessus des longueurs d'ondes visibles (400 nm à 800 nm), dans le domaine de l'infrarouge.

2. .

3. On observera un phénomène de diffraction si un obstacle dont la taille est de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde se trouve sur la trajectoire de l'un des faisceaux. Cela correspond ici à une largeur de 850 nm.

4. On limite la longueur d'onde au maximum pour que la probabilité de la présence d'un objet aux dimensions propres à engendrer un phénomène de diffraction sur le trajet du faisceau soit quasi-nulle. Avec une longueur d'onde plus élevée, les petits insectes seraient en effet susceptibles de perturber la réception du faisceau.

5. a. Pour obtenir un maximum de précision, nous allons mesurer la durée de 10 périodes : , donc .

Soit .

b. Le son produit par le bip est plus aigu que le do1 car sa fréquence est plus élevée.

c. Il s'agit d'un son pur car il n'est constitué que d'un harmonique.

6. a. L'onde envoyée par le radar va parcourir 10 mètres jusqu'à la balle, puis encore 10 mètres pour revenir au radar :

.

b. Le radar étant situé derrière le joueur qui sert, l'onde écho qu'il reçoit va dans le sens opposé à celui de la balle pendant la mise en jeu.

c.

.

Le receveur (la balle) se déplaçant dans le même sens que l'onde radar, on comptera la vitesse de l'émetteur v positivement !

d. Il faut convertir la vitesse de la balle en mètres par seconde :

.

.

e. D'après c. on a :

, donc .

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