Un grand club de ski français propose à la vente :
– des licences
– des cartes neige à prix normal
– des cartes neige à prix réduit pour les habitants de la commune.
Pour chacun de ce titres vendus, il faut distinguer deux catégories : la catégorie jeune et la catégorie adulte.
Le nombre de titres vendus pour la saison 2012 se répartit de la manière suivante :
– 8,5 % de licences
– 77,5 % de cartes neige à prix réduit
– 1,5 % de licences catégorie jeune
– 2,5 % de cartes neige à prix normal catégorie jeune.
De plus, parmi les personnes ayant acheté une carte neige à prix réduit, 86,5 % sont des adultes.
On note :
– L, l'événement : « la personne a acheté une licence »
– CN, l'événement : « la personne a acheté une carte neige à prix normal »
– CR, l'événement : « la personne a acheté une carte neige à prix réduit »
– J, l'événement : « la personne est dans la catégorie jeune »
– A, l'événement : « la personne est dans la catégorie adulte ».
On choisit au hasard une personne de la saison 2012.
1. Déterminer la probabilité que :
a. cette personne ait acheté une carte neige à prix normal.
b. cette personne ait acheté une carte neige à prix réduit catégorie adulte.
2. Montrer que la probabilité que cette personne ait acheté une carte neige à prix réduit catégorie jeune est égale à 0,105.
3. Sachant que cette personne a acheté une licence, quelle est la probabilité qu'elle appartienne à la catégorie adulte ?
4. Quelle est la probabilité que cette personne appartienne à la catégorie jeune ?
5. Sachant que cette personne est jeune, quelle est la probabilité qu'elle ait acheté une licence ?
Tous les résultats sont donnés avec un arrondi à 0,001 près.
Ski
1. a. Les événements L, CN et CR forment une partition de l'univers donc :
.
On a 
La probabilité que cette personne ait acheté une carte neige à prix normal est donc 0,140.
b. D'après l'énoncé, on a 
et 
donc :
La probabilité que cette personne ait acheté une carte neige à prix réduit catégorie adulte est 0,670.
2. Les événements A et J formant une partition de l'univers, on a :
soit
La probabilité que la personne ait acheté une carte neige à prix réduit catégorie jeune est bien égale à 0,105.
3. D'après la formule des probabilités totales, on a :
.
.
Sachant qu'elle a acheté une licence, la probabilité qu'une personne appartienne à la catégorie adulte est 0,824.
4. L, CN et CR forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales, on a :
La probabilité que cette personne appartienne à la catégorie jeune est 0,145.
5. 
. Sachant que la personne est jeune, la probabilité qu'elle ait acheté une licence est 0,103.