Exercice corrigé Ancien programme

Suite arithmético-géométrique


On considère la suite définie pour tout n entier strictement positif par :

.

1. À l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice, représenter graphiquement les 50 premiers termes de la suite .

Sur tableur, utiliser 4 colonnes, une pour n, une pour n2, une pour la somme des carrés et une dernière pour un.

2. Émettre une conjecture sur le type de fonction f telle que, pour tout n entier entre 1 et 50, on ait .

3. Déterminer les coefficients a, b et c de la fonction du second degré f.

Utiliser les valeurs u1, u1 et u1 pour obtenir un système d'équations d'inconnues a, b, c.

4. Vérifier qu'on retrouve bien les valeurs de la suite .

5. À l'aide de la formule ainsi obtenue pour un, établir une formule simple donnant la somme des carrés des n premiers entiers strictement positifs.


 1. Sur tableur,

pour u1 : dans la cellule A2, mettre la valeur 1 

dans la cellule B2, mettre la formule  

dans la cellule C2, mettre la formule  

dans la cellule D2, mettre la formule .

Pour u1 : dans la cellule A3, mettre la formule  

dans la cellule B3, mettre la formule (ou copier-coller B2) 

dans la cellule C3, mettre la formule

et dans la cellule D3, mettre (ou copier-coller D).

On étend ensuite la ligne 3 jusqu'à la ligne 51.

 

A

B

C

D

1

n

n2

Somme des n2

un

2

1

1

1

6

3

2

4

5

15

4

3

9

14

28

5

4

16

30

45

Sur tableur, le $ placé avant la référence d'une case permet de bloquer cette référence lorsqu'on recopie une formule : ici, on veut que la somme commence toujours à la valeur 1 placée en B2 quand on descend. On aurait pu noter seulement B$2 car le B ne vraie pas de toute façon à la recopie vers le bas.

Puis avec l'assistant graphique, on obtient en choisissant le type « diagramme XY » (valeurs X de A2 à A51, Y de D2 à D51) :

2. Cette courbe ressemble à une portion de parabole, donc on peut conjecturer que f est une fonction polynomiale du second degré.

3. Soit . On sait que   et , donc on doit résoudre un système de trois équations à trois inconnues :

4. Sur le tableur, dans la case E2, on entre la formule , puis on recopie vers le bas et on compare avec la colonne D et le graphique : on a bien retrouvé .

5. 

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner