L'objectif de cet exercice est de déterminer tous les entiers naturels n tels que :
1. Examiner les cas 
2. Soit 
la fonction définie sur 
par 
a. Déterminer les limites de 
en 
et en 
b. Étudier les variations de 
c. Déterminer le nombre de solutions de l'équation 
d. Conclure.
1. 
L'égalité est vraie pour 
2. a. 
donc 
donc 
b.
est dérivable sur 
et, pour tout 
car c'est une somme de deux termes négatifs.
Donc 
est strictement décroissante sur 
c. 
est strictement décroissante sur 
1 est compris entre 
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation 
admet une solution unique.
d. 
L'unique solution dans R de l'équation 
A fortiori, le seul entier naturel n vérifiant 