Exercice corrigé Ancien programme

suite de l'exercice 17

L'objectif de cet exercice est de déterminer tous les entiers naturels n tels que :

1. Examiner les cas

2. Soit la fonction définie sur par 

a. Déterminer les limites de en et en

b. Étudier les variations de

c. Déterminer le nombre de solutions de l'équation

d. Conclure.

1.

L'égalité est vraie pour

2. a.

donc

donc

b. est dérivable sur et, pour tout

car c'est une somme de deux termes négatifs.

Donc est strictement décroissante sur

c. est strictement décroissante sur

1 est compris entre

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une solution unique.

d. L'unique solution dans R de l'équation

A fortiori, le seul entier naturel n vérifiant

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