L'objectif de cet exercice est de déterminer tous les entiers naturels n tels que :
1. Examiner les cas
2. Soit la fonction définie sur
par
a. Déterminer les limites de en
et en
b. Étudier les variations de
c. Déterminer le nombre de solutions de l'équation
d. Conclure.
1.
L'égalité est vraie pour
2. a.
donc
donc
b. est dérivable sur
et, pour tout
car c'est une somme de deux termes négatifs.
Donc est strictement décroissante sur
c. est strictement décroissante sur
1 est compris entre
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une solution unique.
d. L'unique solution dans R de l'équation
A fortiori, le seul entier naturel n vérifiant