Pour tout
on définit sur 
la fonction Pn par 
(c'est-à-dire 
).
1. Démontrer que pour tout 
il existe un unique nombre réel strictement positif noté xn tel que 
| Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires. |
2. Déterminer le signe de 
puis démontrer que la suite 
est décroissante.
| Le théorème des valeurs intermédiaires sera utile pour conclure. |
3. En déduire que 
est convergente, et on note l sa limite.
4. Démontrer que pour tout entier 
En déduire que 
5. a. Démontrer que, pour tout 
pour tout 
:
| Faire apparaitre la somme des premiers termes d'une suite particulière. |
b. En déduire que 
1. Soit 
. Pn est dérivable sur 
(polynôme), donc aussi sur 
et pour tout 
Pn est donc strictement croissante sur 
De plus 
et 
Pn, étant continue sur d'après le théorème des valeurs intermédiaires,
il existe un unique nombre réel strictement positif noté xn tel que 
2. Soit 
Pour tout 
En particulier, 
Donc 
et 
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à la fonction 
sur 
, il existe un unique nombre réel appartenant à l'intervalle solution de 
Cette unique solution étant 
La suite (xn) est donc (strictement) décroissante.
3.La suite 
est décroissante et minorée par 0, donc la suite 
converge.
4.La suite 
étant strictement décroissante, pour tout 
Montrons que 
: P2 est définie par 
donc d'après 1., 
| On pouvait aussi conclure que |
en cherchant les racines du polynôme du second degré 
De plus, pour tout 
(d'après 1.)
Donc, pour tout 
Pour tout 
, donc 
par croissance sur 
avec 
(car 
Donc, d'après le théorème des gendarmes, 
5. a. Soit 
et 
, donc 
et 
b. En particulier, pour tout 
comme 
,
ce qui équivaut à 
On obtient par passage à la limite quand n tend vers + ∞, 
d'où 
et 