Exercice corrigé Ancien programme

suite de polynômes

Pour tout on définit sur la fonction Pn par 

(c'est-à-dire ).

1. Démontrer que pour tout il existe un unique nombre réel strictement positif noté xn tel que

Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.

2. Déterminer le signe de puis démontrer que la suite est décroissante.

Le théorème des valeurs intermédiaires sera utile pour conclure.

3. En déduire que est convergente, et on note l sa limite.

4. Démontrer que pour tout entier
En déduire que

5. a. Démontrer que, pour tout pour tout  :

Faire apparaitre la somme des premiers termes d'une suite particulière.

b. En déduire que

1. Soit . Pn est dérivable sur (polynôme), donc aussi sur

et pour tout

Pn est donc strictement croissante sur

De plus et

Pn, étant continue sur d'après le théorème des valeurs intermédiaires,
il existe un unique nombre réel strictement positif noté xn tel que

2. Soit Pour tout

En particulier,

Donc et

Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à la fonction sur , il existe un unique nombre réel appartenant à l'intervalle solution de Cette unique solution étant

La suite (xn) est donc (strictement) décroissante.

3.La suite est décroissante et minorée par 0, donc la suite converge.

4.La suite étant strictement décroissante, pour tout

Montrons que  : P2 est définie par

donc d'après 1.,

On pouvait aussi conclure que en cherchant les racines du polynôme du second degré P2 : l'une est négative, donc ce n'est pas x2 , l'autre est

De plus, pour tout (d'après 1.)

Donc, pour tout

Pour tout , donc par croissance sur avec (car

Donc, d'après le théorème des gendarmes,

5. a. Soit et

, donc et

b. En particulier, pour tout comme ,

ce qui équivaut à On obtient par passage à la limite quand n tend vers + ∞,  d'où et 

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