Exercice corrigé Ancien programme

suite et fonction

On considère la suite définie par  et

On considère la fonction définie sur par On note sa courbe représentative dans un repère orthonormé (unité graphique : 4 cm).

 

 

On note (d ) la droite d'équation

1. Étudier les variations de f.

2. Dans cette question, on suppose que

a. Tracer , (d ), puis placer sur l'axe les points A0, A1, A2 d'abscisses
respectivement (on prendra pour la figure).

b. Démontrer par récurrence que pour tout

c. Étudier les variations de la suite

 

Commencer par comparer et

 

d. En déduire la convergence de et déterminer sa limite.

3. Dans cette question, on suppose que

a. Démontrer que

b. En déduire la convergence de la suite

 

On pourra considérer la suite définie par vn = un + 1 pour tout n N.

 

 

 

 

1. ( ou ) et du signe contraire de a = -1 entre les racines.

f est donc définie sur et dérivable sur

Pour tout

D'où f ′(x) est du signe de donc strictement positif sur et strictement négatif sur

Donc f est strictement croissante sur et strictement décroissante sur

 

 

2. a.

b. l par hypothèse.

  • Supposons qu'il existe tel que et montrons que

D'après le tableau de variation de f, si alors donc comme alors

  • Donc, pour tout

c. Soit


car et

Donc Mais un et appartiennent à donc un et sont rangés dans le même ordre que leurs carrés, d'où

Donc la suite (un) est croissante.

d. est croissante et majorée par 1, donc elle converge.

Soit L sa limite.

Comme pour tout

L vérifie l'équation , car la fonction f est continue sur

L étant positif,

ou

Si alors, comme la suite est constante et égale à 0. Donc

Si alors, comme est croissante, un  u0 pour tout n ∈ N, donc
L  u0 > 0, donc :

3. a. D'après le tableau de variation de f,
donc

b. Soit la suite définie pour tout par

vérifie toutes les propriétés de la question 3.

Donc

converge vers 0 si c'est-à-dire si

converge vers 1 si c'est-à-dire si

 

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