Exercice corrigé Ancien programme

suite et fonction

Soit f la fonction définie sur par 

1. Démontrer que pour tout (on étudiera les variations de f ).

Soit la suite définie par  et pour tout

2. Démontrer par récurrence que pour tout

3. On considère les suites et définies, pour tout par :

et

a. Expliquer pourquoi les suites et sont bien définies.

b. Démontrer que la suite est géométrique.

c. Exprimer, pour tout entier n, puis en fonction de n.

d. En déduire l'expression de en fonction de n. Quelle est la limite de la suite  ?

 

 

 

1. f est définie et dérivable sur et, pour tout  :

donc f (x) est du signe de polynôme du second degré dont les racines sont 0 et 1.

D'où ( ou ) car

Donc f est strictement croissante sur

De plus, donc, pour tout soit

2. l donc la propriété est vraie au rang 0.

  • Supposons qu'il existe un nombre tel que et montrons que

Or, d'après 1., si Donc la propriété est vraie au rang

l Donc, pour tout

3. On considère les suites et définies par  et pour tout

a. Soit donc existe.

De plus, donc et

Donc existe.

Donc les suites (vn) et (wn) sont bien définies sur

b. Soit

Or donc et ainsi :

Donc

La suite (wn) est donc géométrique de raison 2.

c.

Donc, pour tout

Ensuite, pour tout
donc

Pour tout

d. Pour tout
d'où

et, comme Donc

Alors

Donc la suite (un) converge vers 1.

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