Exercice corrigé Ancien programme

Suite récurrente

Deux amis, Antoine et Bruno, n'ont qu'une seule manette à leur console de jeu. Ils se mettent d'accord sur le principe suivant : ils tirent à pile ou face (avec une pièce bien équilibrée) celui qui jouera la première partie, puis à chaque partie, si le joueur gagne, il peut jouer la partie suivante, sinon, il passe la manette à son voisin. On sait que lorsqu'Antoine joue une partie, il la gagne une fois sur deux, tandis que lorsque Bruno joue une partie, il la gagne une fois sur trois.

Pour tout entier on note l'événement « c'est Antoine qui joue la n-ième partie » et la probabilité de l'événement

1. Déterminer

 

C'est la pièce qui décide…

2. Démontrer que pour tout

 

On pourra construire un arbre pondéré partiel représentant les résultats de la n-ième partie puis de la -ième partie.

pour Déterminer la nature de la suite

En déduire l'expression de en fonction de n.

 

On commence par essayer d'exprimer en fonction de

4. Déterminer la limite de la suite quand n tend vers

5. Calculer la probabilité que la n-ième partie soit gagnée.

1. La pièce étant bien équilibrée, on a équiprobabilité des résultats pile et face.

Donc

2. On traduit l'énoncé. Pour
donc et , donc

ou on traduit l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré (partiel).

Soit

Soit alors

Donc

3. Soit

Donc est une suite géométrique de premier terme et de raison

On en déduit que pour tout

D'où soit

 

Attention, le premier terme de la suite est u1.

4. donc .

Or donc Donc

5. Lorsque la n-ième partie est gagnée, elle l'est soit par Antoine, soit par Bruno. Ainsi si on note l'événement « la n-ième partie est gagnée » :

cette réunion étant disjointe.

Donc :

Or, et et

Donc

 

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