Suite récurrente

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Exercices
Classe(s) : 1re S | Thème(s) : Suites


On considère le problème posé par Leonardo Fibonacci au xiiie siècle : « Un homme met un couple de lapins nouveau-nés dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ? » Pour répondre à cette question, posons An le nombre de couples adultes et In le nombre de couples immatures à la fin du ne mois. Alors, à la fin du premier mois, et . À la fin du 2e mois, le couple immature devient adulte, et à la fin du 4e mois, le couple a engendré un couple de lapereaux. Les relations de récurrence liant ces suites sont donc et .

1. Sur tableur, calculer les 30 premiers termes de chaque suite.

On pourra mettre les valeurs de n dans la colonne A, les valeurs de An dans la colonne B et les valeurs de In dans la colone C.

En déduire, dans une 4e colonne, le nombre total de couples de lapins à la fin du ne mois. On notera cette suite .

2. Démontrer que pour tout , . Cette relation de récurrence définit la suite de Fibonacci pour et .

3. Déduire de cette relation que (E)

4. On s’intéresse maintenant à la suite définie par pour . Dans une nouvelle colonne du tableur, calculer les 29 premiers termes de , en faisant apparaître 8 décimales. Quelle conjecture peut-on faire concernant cette suite ?

5. On admettra que converge vers une limite notée . Démontrer que est positive.

Que se passerait-il si on avait ?

6. Que peut-on dire de lorsque n tend vers l’infini ?

7. a. Déduire de la relation et du 6. que est la solution positive d’une équation du second degré que l’on déterminera.

b. Calculer la valeur exacte de .

8. À l’aide du tableur, déterminer à partir de quel rang n, .

Voir le chapitre 1 pour la notion de valeur absolue. Utiliser la fonction =ABS (voir l’assistant fonction du tableur).