Suites géométriques

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Exercices
Classe(s) : 1re S | Thème(s) : Suites


Un compas dont les pointes sont posées sur une table forme avec celle-ci un triangle.

Lorsque l’écartement du compas varie, l’aire du triangle ainsi obtenu varie.

L’objectif de ce problème est de déterminer la position du compas pour laquelle l’aire du triangle est maximale.

On se place dans le cas où les branches du compas mesurent 10 cm.

Dans les figures ci-après, le point A est situé sur l’axe des ordonnées et représente le sommet du compas. L’axe des abscisses représente la table.

Les points B et C représentent les extrémités des branches du compas.

1. Justifier que B et C sont les points d’intersection d’un cercle et d’une droite à définir.

2. Posons et notons l’aire du triangle ABC correspondante.

a. Dans quel intervalle I varie t ?

b. Démontrer que, pour tout , .

3. Soit u la fonction définie sur I par .

a. Calculer et factoriser au maximum .

b. Construire le tableau de variations de u sur I.

4. En déduire, en justifiant, le tableau de variations de .

5. Pour quelle distance OA, l’aire du triangle ABC est-elle maximale ? Calculer l’aire maximale du triangle, puis démontrer que cette valeur de correspond au cas où les branches du compas sont perpendiculaires.