Exercice corrigé Ancien programme

Surbooking

Un vol Paris-New York est assuré par un Airbus A380 d'une capacité de 538 places. La probabilité qu'une personne confirme sa réservation et retire son billet est notée p. On suppose que les comportements des voyageurs sont indépendants les uns des autres. On note Xn la variable aléatoire désignant le nombre de personnes se présentant à l'embarquement. La compagnie fait du surbooking (elle vend plus de billets qu'il n'y a de places, espérant ainsi remplir son appareil, et comptant sur le fait que des voyageurs ne se présentent pas) et vend n billets. Toutefois, si une personne se présente à l'embarquement et ne peut monter à bord car toutes les places sont prises, celle-ci sera dédommagée.

1. Déterminer la loi de Xn .

2. On suppose que . Écrire l'intervalle de fluctuation In, de niveau 95 %, de .

3. Montrer que si In est inclus dans , alors la probabilité que le nombre de personnes dépasse 538 est inférieure ou égale à 0,05.

4. Dans cette question, on suppose que .

On souhaite maintenant déterminer la valeur maximale de n permettant que In soit inclus dans .

a. Montrer que (arrondir 1,96 à 2).

b. Résoudre cette inéquation en posant , pour les valeurs de n supérieures ou égales à 538.

c. Conclure.

2. Il s'agit seulement de citer l'intervalle donné dans le cours. représente la proportion de gens ayant acheté un billet qui se présentent à l'embarquement.

4. a. Écrire que la borne supérieure de l'intervalle de la question 2 doit être inférieure ou égale à .

4. b. On obtient une inéquation du second degré, à résoudre pour .

Surbooking

1. Xn suit une loi binomiale de paramètres n et p.

2. Comme , et , on peut écrire l'intervalle de fluctuation de niveau 95 % :

.

3. Si In est inclus dans , alors la probabilité que Xn dépasse 538 est inférieure ou égale à la probabilité que n'appartienne pas à In. Cette probabilité étant proche de 0,05, on peut dire que la probabilité que Xn dépasse 538 est inférieure ou égale à 0,05.

4. a. Si In est inclus dans , alors la borne supérieure de In est inférieure ou égale à .

On obtient : . Avec et en remplaçant 1,96 par 2, cela donne :

.

b. L'inéquation à résoudre est , en posant .

Le discriminant du trinôme du second degré est , et les deux racines sont approximativement : et 24,1. On en déduit le signe du trinôme :

x

24,1

+

-

+

Puisque , on en déduit le signe de , pour .

n

538 580,8

-

+

Les solutions de l'inéquation sont les entiers compris entre 538 et 580.

c. La compagnie pourra donc vendre 580 billets pour son avion de 538 places. Dans ce cas, la probabilité que le nombre de passagers se présentant à l'embarquement dépasse la capacité de l'avion est inférieure à 5 %.

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