L'espace est rapporté à un repère orthonormé
1. Résoudre les systèmes suivants en vous aidant de leur interprétation géométrique :
a. b.
Les plans, dont les équations cartésiennes composent le système, sont-ils parallèles ? |
2. Soient les points,
a. Vérifier que les points A, B, C ne sont pas alignés.
b. Déterminer, en résolvant un système, quatre réels a, b, c, d tels que et
soit une équation cartésienne
du plan (ABC).
1. a. Considérons les plans
et Les plans (Q) et (R) sont parallèles car leurs vecteurs normaux
et
sont colinéaires.
De plus, donc (Q) et (R) sont disjoints.
À fortiori, il n'existe pas de point commun aux trois plans (P), (Q) et (R).
Le système n'admet donc pas de solution.
b. Considérons les plans et
Des vecteurs normaux à ces trois plans sont et
Ces vecteurs pris deux par deux ne sont pas colinéaires, donc les plans (P), (Q) et (R) sont deux à deux sécants et on doit résoudre le système :
La solution du système est le triplet
Interprétation géométrique
Les plans (P), (Q) et (R) se coupent en un point
2. a. donc
et
: ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc A, B et C ne sont pas alignés.
b. forment donc un repère du plan (ABC).
(ABC) si, et seulement si,
peut s'écrire comme combinaison linéaire de
si, et seulement si, il existe des réels
tels que :
La dernière équation remise en forme nous donne l'équation cartésienne du plan (ABC) :