Exercice corrigé Ancien programme

système linéaire de trois équations à trois inconnues

L'espace est rapporté à un repère orthonormé

1. Résoudre les systèmes suivants en vous aidant de leur interprétation géométrique :

a. b.

Les plans, dont les équations cartésiennes composent le système, sont-ils parallèles ?

2. Soient les points,

a. Vérifier que les points A, B, C ne sont pas alignés.

b. Déterminer, en résolvant un système, quatre réels a, b, c, d tels que et soit une équation cartésienne
du plan (ABC).

1. a. Considérons les plans
et Les plans (Q) et (R) sont parallèles car leurs vecteurs normaux et sont colinéaires.

De plus, donc (Q) et (R) sont disjoints.

À fortiori, il n'existe pas de point commun aux trois plans (P), (Q) et (R).

Le système n'admet donc pas de solution.

b. Considérons les plans et

Des vecteurs normaux à ces trois plans sont et Ces vecteurs pris deux par deux ne sont pas colinéaires, donc les plans (P), (Q) et (R) sont deux à deux sécants et on doit résoudre le système :

La solution du système est le triplet  

Interprétation géométrique

Les plans (P), (Q) et (R) se coupent en un point

2. a. donc et : ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc A, B et C ne sont pas alignés.

b. forment donc un repère du plan (ABC).

(ABC) si, et seulement si, peut s'écrire comme combinaison linéaire de si, et seulement si, il existe des réels tels que :

La dernière équation remise en forme nous donne l'équation cartésienne du plan (ABC) :

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner