Exercice corrigé Ancien programme

taille d'échantillon et précision de l'intervalle de confiance

Dans une population de lapins, une proportion p, inconnue, est albinos. Un échantillon de taille n, choisi au hasard dans cette population, présente une proportion observée f d'albinos.

On suppose que , et

1. Donner l'intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 pour p, puis son amplitude.

Cette amplitude est appelée précision de l'estimation au niveau de confiance 0,95.

2. Dans cette question seulement, on suppose que

Déterminer la fréquence f observée de ce caractère et le nombre n d'individus de l'échantillon.

3. Soit fixé.

a. Quelle doit être la valeur minimale de n pour que la précision de l'estimation au niveau de confiance 0,95 soit inférieure ou égale à a ?

 

La précision est d'autant plus « grande » quand a est « petit ».

 

b. Déterminer cette valeur minimale pour

c. Comment décririez-vous l'évolution de la valeur minimale de la taille de l'échantillon n quand on veut « augmenter » la précision de l'estimation au niveau de confiance 0,95 ?

4. Il existe un autre intervalle de confiance au niveau 0,95 utilisé en économie :

c'est

a. Déterminer la précision de l'estimation au niveau de confiance 0,95 pour cet intervalle.

b. Soit fixé. Quelle doit être la valeur minimale de n pour que la précision de l'estimation au niveau de confiance 0,95 soit inférieure ou égale à a ?

c. Si déterminer cette valeur minimale pour

d. Si , déterminer cette valeur minimale pour

e. Pour quelle valeur de f diriez-vous qu'il est nettement préférable d'utiliser plutôt que ?

 

 

1. Comme , l'intervalle de confiance ICn au niveau de confiance 0,95 pour p est

donc son amplitude est .

2. L'amplitude de l'intervalle est

car

On vérifie qu'on a bien .

Or , donc (c'est le milieu de l'intervalle ).

 

On dit que l'intervalle de confiance au niveau 0,95 est centré sur f.

 

Donc et

3. a. On veut , ce qui équivaut successivement à :

car et la fonction inverse est décroissante sur

car

car la fonction carrée est croissante sur .

Si , on prendra , sinon, on prendra , où E désigne la fonction partie entière.

b.

 

a

0,5

0,3

0,1

0,05

0,01

16

44,4 à 0,1 près

400

1 600

40 000

Valeur minimale de n

30

45

400

1 600

40 000

 

c. La valeur minimale de n est inversement proportionnelle au carré de la précision a. La valeur minimale de n augmente donc rapidement quand on veut augmenter la précision (quand a diminue).

4. a. La précision de l'estimation au niveau de confiance 0,95 pour est :

b. car la fonction inverse est décroissante sur

car

car la fonction carré est croissante sur .

Si , on prendra , sinon, on prendra où E désigne la fonction partie entière.

c. Pour

 

a

0,5

0,3

0,1

0,05

0,01

5,5 à 0,1 près

15,4 à 0,1 près

138,3 à 0,1 près

553,2 à 0,1 près

13 829,8 à 0,1 près

Valeur minimale de n

30

30

139

554

13 830

 

d. Pour

 

a

0,5

0,3

0,1

0,05

0,01

15,4 à 0,1 près

42,7 à 0,1 près

384,2 à 0,1 près

1536,7 à 0,1 près

38416

Valeur minimale
de n

30

43

139

554

38416

 

e. Pour , les valeurs minimales trouvées ici pour n sont proches de celles trouvées avec ICn, tandis que pour , on trouve une valeur minimale de n bien inférieure pour Jn dès que a est petit : cet intervalle de confiance au niveau 0,95 nécessite des tailles d'échantillons bien moins importants que ICn , donc il est préférable d'utiliser plutôt Jn pour

 

La précision est maximale pour où elle vaut 3,92 à 0,01 près. est alors très proche de la précision obtenue pour ICn.

 

 

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