Exercice corrigé Ancien programme

Taux de cholestérol

On considère que le taux de cholestérol T (exprimé en ) suit une loi normale de moyenne et d'écart-type .

54 % des individus ont un taux inférieur à .

36 % des individus ont un taux compris entre et .

10 % des individus ont un taux supérieur à .

1. Déterminer et .

2. On admet que et .

a. Quel est le taux de cholestérol médian ?

b. Quel est le 9e décile ?

c. Quel est le 1er décile ?

d. On considère qu'un taux de nécessite un traitement. Quelle est la proportion de personnes qui doivent être soignées ?

e. Quel est le 3e quartile ?

Taux de cholestérol

1. Les trois pourcentages donnés dans l'énoncé se traduisent par :

, , et . Deux suffiront pour trouver les deux inconnues. On considère la première et la troisième,
réécrite ainsi : .

En posant , de telle sorte que U est une variable centrée réduite, on obtient :

2. a. Avec une loi normale, la médiane et la moyenne (ou l'espérance) sont égales : le taux de cholestérol médian est .

b. Le 9e décile est le taux de cholestérol tel que 90 % des individus ont un taux de cholestérol inférieur. La réponse est dans l'énoncé, c'est .

c. Par symétrie de la loi normale, le 1er décile et le 9e décile sont symétriques par rapport à la moyenne. Le 1er décile est donc .

d. D'après la calculatrice, . Environ 0,9 % des personnes doivent être soignées.

e. Le 3e quartile est le taux de cholestérol t tel que .

D'après la calculatrice, on trouve .

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