On modélise le temps d'attente entre deux clients à un guichet comme une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre strictement positif.
Le temps moyen d'attente est donné par 
1. a. Déterminer deux réels a et b tels que la fonction définie par :
soit une primitive de la fonction 
sur 
b. En déduire l'expression de 
en fonction de 
c. Vérifier alors que le temps moyen d'attente entre deux clients est 
2. Le temps moyen d'attente est de 5 min. Quelle est la probabilité d'attendre plus de 10 minutes ? plus de 5 minutes ?
| Commencer par trouver l. |
3. Quelle est la probabilité d'attendre encore au moins 5 minutes sachant qu'on a déjà attendu 10 minutes ? Comment expliquez-vous ce résultat ?
a. g est une primitive de 
si, et seulement si, g est dérivable sur 
pour tout 
.
Or 
avec 
u et v sont dérivables sur 
avec 
, donc g est dérivable sur 
, de dérivée :
Alors g est une primitive de 
sur 
si, et seulement si,
pour tout 
pour tout 
par identification des coefficients de ces deux fonctions polynomiales :
Donc une primitive de la fonction 
est la fonction g définie par 
b. Soit 
où : 
.
D'où 
soit :
c. 
donc 
donc 
par les critères de croissance comparée 
Donc 
.
Le temps moyen d'attente entre deux clients est 
2. Pour 
Le temps moyen d'attente est 
, donc 
.
Donc 
.
Si 
près.
Si 
près.
| Une loi à densité « ne charge pas les points » : on a les mêmes probabilités avec des inégalités larges ou strictes. |
3. Sachant qu'on a déjà attendu 10 min, attendre encore au moins 5 min revient à attendre plus de 15 min.
Or l'événement 
est inclus dans l'événement 
donc :
Cela s'explique par le fait que la loi exponentielle est à durée de vie sans vieillissement.
| Voir le cours, III. |