Exercice corrigé Ancien programme

temps d'attente

On modélise le temps d'attente entre deux clients à un guichet comme une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre strictement positif.

Le temps moyen d'attente est donné par 

1. a. Déterminer deux réels a et b tels que la fonction définie par :

soit une primitive de la fonction sur

b. En déduire l'expression de en fonction de

c. Vérifier alors que le temps moyen d'attente entre deux clients est

2. Le temps moyen d'attente est de 5 min. Quelle est la probabilité d'attendre plus de 10 minutes ? plus de 5 minutes ?

Commencer par trouver l.

3. Quelle est la probabilité d'attendre encore au moins 5 minutes sachant qu'on a déjà attendu 10 minutes ? Comment expliquez-vous ce résultat ?

a. g est une primitive de si, et seulement si, g est dérivable sur pour tout .

Or avec

u et v sont dérivables sur avec , donc g est dérivable sur , de dérivée :

Alors g est une primitive de sur si, et seulement si,

pour tout

pour tout

par identification des coefficients de ces deux fonctions polynomiales :

Donc une primitive de la fonction est la fonction g définie par

b. Soit où : .

D'où soit :

c.

donc donc par les critères de croissance comparée

Donc .

Le temps moyen d'attente entre deux clients est

2. Pour

Le temps moyen d'attente est , donc .

Donc .

Si près.

Si près.

Une loi à densité « ne charge pas les points » : on a les mêmes probabilités avec des inégalités larges ou strictes.

3. Sachant qu'on a déjà attendu 10 min, attendre encore au moins 5 min revient à attendre plus de 15 min.

Or l'événement est inclus dans l'événement donc :

Cela s'explique par le fait que la loi exponentielle est à durée de vie sans vieillissement.

Voir le cours, III.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner