théorème de gauss et clé de contrôle

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Exercices
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique

Le code EAN 13, utilisé dans la fabrication des codes barres, comporte douze chiffres (entiers compris entre 0 et 9), a1, a2, . . . , a12, suivis d’une clé c obtenue comme suit. On calcule :

; ;

La clé c est alors donnée par r est le reste de la division euclidienne de e par 10.

Partie A. Exemples

1. Calculer la clé du code commençant par 314588904974.

2. Déterminer l’ensemble des chiffres a tels que le code 2704a58533012 soit un code EAN 13.

Partie B. Détection d’erreur

On imprime un code barre correspondant au code

1. Vérifier que c est la clé du code barre si, et seulement si, et (modulo 10).

2. On suppose qu’au cours de l’impression, un et un seul des chiffres a été modifié par erreur en

a. Calculer pour cette série de douze chiffres les nombres et en fonction de , , , et . On traitera d’abord le cas où i est impair, puis le cas où i est pair.

b. En déduire que la clé c ne correspond pas à la série de chiffres obtenus.

3. On suppose cette fois qu’au cours de l’impression, deux chiffres consécutifs distincts et ont été inversés par erreur

a. Calculer pour cette série de douze chiffres les nombres , et en fonction de , , , et . On traitera d’abord le cas où i est impair, puis le cas où i est pair.

b. En déduire que la clé c ne correspond pas à la série de chiffres obtenus, sauf dans un cas à préciser.

c. En déduire un code que l’on peut imprimer à la place du code 7114921334809 sans que l’erreur ne soit détectée.

 

 

 

Dans cette partie d’approfondissement, les exercices sont souvent en deux parties : la partie théorique concentre l’essentiel des difficultés, mais les mises en application seront profitables pour préparer le baccalauréat.