Exercice corrigé Ancien programme

théorème de gauss et clé de contrôle

Le code EAN 13, utilisé dans la fabrication des codes barres, comporte douze chiffres (entiers compris entre 0 et 9), a1, a2, . . . , a12, suivis d'une clé c obtenue comme suit. On calcule :

La clé c est alors donnée par r est le reste de la division euclidienne de e par 10.

Partie A. Exemples

1. Calculer la clé du code commençant par 314588904974.

2. Déterminer l'ensemble des chiffres a tels que le code 2704a58533012 soit un code EAN 13.

Partie B. Détection d'erreur

On imprime un code barre correspondant au code

1. Vérifier que c est la clé du code barre si, et seulement si, et (modulo 10).

2. On suppose qu'au cours de l'impression, un et un seul des chiffres a été modifié par erreur en

a. Calculer pour cette série de douze chiffres les nombres et en fonction de , , , et . On traitera d'abord le cas où i est impair, puis le cas où i est pair.

b. En déduire que la clé c ne correspond pas à la série de chiffres obtenus.

3. On suppose cette fois qu'au cours de l'impression, deux chiffres consécutifs distincts et ont été inversés par erreur

a. Calculer pour cette série de douze chiffres les nombres , et en fonction de , , , et . On traitera d'abord le cas où i est impair, puis le cas où i est pair.

b. En déduire que la clé c ne correspond pas à la série de chiffres obtenus, sauf dans un cas à préciser.

c. En déduire un code que l'on peut imprimer à la place du code 7114921334809 sans que l'erreur ne soit détectée.

 

 

 

Dans cette partie d'approfondissement, les exercices sont souvent en deux parties : la partie théorique concentre l'essentiel des difficultés, mais les mises en application seront profitables pour préparer le baccalauréat.

 

Partie A. Exemples

1. Pour le code commençant par 314588904974 :

.

Or avec , donc .

On en déduit que soit .

2. Pour le numéro 2704a58533012 :

.

Alors .

Par ailleurs, , donc .

On en déduit que le numéro est un code EAN 13 si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de par 10 est 8, avec , soit si,

et seulement si, .

Partie B. Détection d'erreur

1. Par définition, le reste de la division euclidienne de e par 10 est l'unique

entier tel que .

Or c est la clé si, et seulement si, , donc si, et seulement si, . On en déduit que c est la clé si, et seulement si,

2. a. Si i est impair, pour , tous les sont corrects pour

k pair.

Donc .

Seul est modifié en , tous les autres sont corrects pour k impair, .

Alors .

Ainsi :

et

.

De même, si i est pair :

et

.

b. D'après 1., la clé c vérifie .

Supposons que c soit la clé correspondant au code modifié.

On a donc aussi .

Si i est impair, .

Donc , d'où .

Donc 10 divise , ce qui est impossible car ,

et , donc .

Donc c n'est pas la clé correspondant à ce numéro.

De même, si i est pair, .

D'où , soit .

Donc 10 divise . D'après le théorème de Gauss, comme 10 et 3 sont

premiers entre eux, on en déduit que 10 divise , ce qui est absurde par

le même raisonnement que précédemment.

C n'est donc pas la clé correspondant à la série de chiffres obtenue.

3. a. Si i est impair, on a inversé et , avec i impair, donc est pair.

Ainsi, et

.

Si i est pair, est impair et alors :

et .

.

b. Supposons que c soit la clé correspondant à la série de chiffres obtenue.

c est la clé correspondant à e, donc .

Donc, si i est impair :

implique .

Donc c est la clé si, et seulement si, , soit si, et seulement si, ou .

De même, si i est pair :

c est la clé si, et seulement si, ,

soit si, et seulement si, .

Donc c n'est pas la clé de la série de chiffres, sauf si .

c. On vérifie que le code 7119421334809, obtenu par inversion de et ,

admet bien 9 comme clé :

, donc , et .

Ce code est donc un code pouvant être imprimé à la place du code

7114921334809.

 

 

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