Exercice corrigé Ancien programme

théorèmes de comparaison

1. Soit f la fonction définie sur

a. Vérifier qu'il s'agit d'une forme indéterminée.

b. Démontrer que, pour tout x > 0, 1 + x² ≥ 2x (résultat en fait vrai pour tout x réel).

c. En déduire une fonction g qui minore f sur ]0  + ∞[.

d. Déterminer alors la limite de f en + ∞.

2. Soit (un) la suite définie, pour tout .

a. Encadrer n + (–1)n par deux fonctions affines de n.

b. En déduire un encadrement de un.

c. Déterminer la limite en + ∞ de un.

1. a. Il s'agit bien d'une forme indéterminée.

b. Étudions le signe de la différence.
Pour tout x > 0, 1 + x² – 2x = (1 – x)² ≥ 0, donc :

c. Pour tout c'est-à-dire
Donc la fonction g définie sur par minore f.

d. donc, d'après le premier théorème de comparaison pour les fonctions :

2. a. Pour tout donc :

b. Pour tout

c.
De même,

D'après le théorème des gendarmes,

 

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